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Practice Final Exam

Semester 1, 2023

3.  (10 points)  Suppose that your optimization model has a variable y which is equal to the product of two variables y = xz, where x is continuous and z is integer. Furthermore, you have the following bounds on x and z:

−10 ≤ x ≤ 10

−2 ≤ z ≤ 4.

Note that since z is integer, this implies that z can only take on values −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4. Formulate linear constraints which capture the relationship y = xz .

Hint:  introduce binary variables wi  ∈ {0, 1} which indicate whether z = i or not. Then z = 对i(4)= −2 i · wi .

4.  (20 points)  Suppose as many as 10 flights per day can travel between any two of the cities 1, 2 and 3. Set up a maximum flow model that can be used to determine the maximum number of flights in the next three days from city 1 to city 3.

Hint:  Let τ denote the end of day τ, so τ = 0 is the start of the first day.  You should have a node (i,τ) that represents city i at time τ, for τ = 0, 1, 2, 3. You should also have a source s and a sink t. What are the arcs and capacities between these nodes?

5.  (20 points)  The Lotus Point Condo Project will contain up to 10,000 dwelling units. Each unit is either a house or an apartment. The project must contain a recreation project: either a swimming–tennis complex or a sailboat marina, but not both.

If a marina is built, then the number of houses in the project must be at least triple the number of apartments in the project. A marina will cost $1.2 million, and a swimming–tennis complex will cost $2.8 million. The developers believe that each apartment will sell for $48,000, and each house will sell for $46,000. Each house or apartment costs $40,000 to build.

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