You should complete all of the three questions below. The marks for each question are equally weighted. We will take into account the correct use of notation when marking your working and reasoning.

Question 1:

This question concerns probability.

(i) I have two random variables, both independent from one another. One is represented by a Poisson Distribution with a mean of 10 dollars. The second is represented by a (10-sided) dice that randomly gives me between 1 and 10 dollars. What is the expectation and variance of both random variables added together.    (ii) I play a lottery where the expectation per dollar is 0.912 dollars per dollar that  I pay (but the variance of outcomes is high). Is there a rational reason why I would still play this lottery? Please explain.

Question 2:

The concept of a contention ratio concerns sharing of an internet pipe with many people.

(i) A person solely uses an internet connection of 5MB/s. Their consumption per   hour can be modelled using a Poisson distribution, with a mean of 3MB/s. The rate changes every hour. What is the chance in a given hour that they do not have enough internet.

(ii) To improve the reliability of their internet connection, the person decides to      share their connection with more people. They have two options. The irst involves sharing 50Mb with 10 people. The second involves sharing 200Mb with 50 people. Which should they choose and why? Explain your reasoning.

Question 3:

The question concerns polling in the context of a constitutional referendum, in particular the proposed indigenous voice referendum of 2023.

(i) A poll was conducted on the 29th of May 2023 of all Australians. It said that overall, a proportion of 0.546 said they would vote yes. The sample size was 1936 people. Calculate the 95% conidence interval of the chance of a yes vote.            (ii) Based on the same information given in Part (i), calculate the probability of a  'yes' vote.

(iii) There is a tendency for polls in constitutional referendums to overestimate the yes-vote. The probability distribution for this is given below. Showing your working (and given the information in Part (i)), please calculate the chance that there will be a 'no' vote as an outcome.