In this question we want to study whether there is a trade-off between the time spent sleeping at night and the time spent in paid work. The simple regression model can be written as

sleepi  = F0  + F1  totwrki  + ei

where sleep is total minutes spent sleeping at night per week and totwrk is total minutes worked during the week.

(a)  If adults trade off sleep for work, what is the anticipated sign of F1 ?

(b)  Figure 1.1 gives the scatterplot of sleep against totwrk. What does this figure tell you?

(c)   Figure 1.2 gives the estimation result of the regression. Write down the sample regression line. Report the results to 3 decimal points.

(d)  Interpret the estimated intercept F0 .

(e)  Interpret the estimated slope F1 .

(f)   If totwrk increases by 2 hours, by how much is sleep estimated to fall?

A multiple regression model is now used to study the trade off between time spent sleeping and working and to also look at other factors affecting sleep:

sleepi  = F0  + F1  totwTki  + F2 educi  + F3 agei  + ei

where educ is years of education and age is measured in years.

(g)  Do you think F2  and F3 will have obvious anticipated signs? Justify your answers.

(h)  Figure 1.3 gives the estimation results. Write down the sample regression line for the multiple regression model. Report the results to 3 decimal points.

(i)   Would you say totwrk, educ and age explain much of the variation in sleep?

(j)    Does the estimated multiple linear regression model substantially (or greatly) improve the

goodness of fit of the model over the estimated simple linear regression model? Explain your

answer.

(k)   Does including educ and age in the multiple regression model substantially (or greatly) affect the estimated trade off between sleeping and working? Explain your answer.

(l)    Interpret the estimated coefficient on the educ variable.

(m) Without using the p-value approach, is educ significantly related to sleep at the 5% level of significance? (Recall that z0.025  = 1.96 and z0.05  = 1.645. Also recall that

Question 2:

Figure 2.1 plots the quarterly log of U.S. real Gross Domestic Product (denoted as gdp) and log of U.S. real consumption (denoted as cons) from 1947q1 to 1980q4.

(a) EViews printouts for the Augmented Dickey-Fuller (ADF) tests for gdp are shown in Figures 2.2 and 2.3. Using only the correct EViews printout, can you conclude at the 5% level of significance that gdp has a unit root? Explain your answers by writing down the null and alternative hypotheses, the ADF regression, the test statistic, the p-value and the conclusion.

(b) Suppose that gdp and cons are both integrated of order one. A version of the permanent income theory of consumption implies the cointegrating relationship:

const  = egdpt  + et

where et  is the cointegrating residuals. Figure 2.4 gives the Engle-Granger Augmented Dickey Fuller test  for cointegration. Explain in detail,  step by step, how you would investigate whether or not gdp and cons are cointegrated?

Question 3:

Suppose Yt  follows the following time series model

Yt  = 0.8Yt − 1  + et

where et ~i. i. d. (0,4). Let Ft  = (Yt , Yt − 1, … , Y1).

(a) Compute the unconditional mean, E(Yt ).

(b) Compute the unconditional variance, var(Yt ).

(c) Compute the conditional mean, E(Yt |Ft − 1).

(d) Compute the conditional variance, var(Yt |Ft − 1).

Question 4:

A plot of quarterly Australian inflation rate (denoted as Yt ) from 1960q1 to 2006q4 is given in Figure 4.1. Let Ft  = (Yt , Yt−1, Yt−2, … , Y1).

(a) The correlgoram of ∆Yt  (denoted as D(Y)) is given in Figure 4.2. Explain why ∆Yt may follow an MA(1) model.

Consider an MA(1)-GARCH(1,1) model:

∆Yt  = e0  + et  + e  e1t−1

et  = at zt

at(2)  = E(et(2)|Ft−1) = a0  + a1 et(2)−1  + F1 a1

where zt ~i. i. d. N(0, 1).

(b) The EViews printout in Figure 4.3 gives an estimated MA(1)-GARCH(1,1) model. Write down the fitted model.  Express your answers in three decimal places.

(c) Figure 4.4 is the correlogram of the squared of the standardised residuals obtained from the estimated MA(1)-GARCH(1,1) model. What does this figure tell you?

(d) Figure 4.5 plots the bands of plus and minus one conditional standard deviation based on the estimated MA(1)-GARCH(1,1) model; that is, the solid line is t  and the dotted line is −t .  What does this figure tell you?

Question 5:

The line graph below gives the monthly log returns (denoted as yt ) from January

1926 to December 1996 for the IBM.

Part 1

The EViews printout gives the estimated AR(1)-ARCH(1) model. 

(a) Write down the estimated AR(1)-ARCH(1) model.

(b) Write down the expressions for the 1-step ahead forecast, E (aT(2)+1 jFT ), and 2- step ahead forecast, E (aT(2)+2 jFT ) ; of the conditional variance for an ARCH(1) model.

(c) The within-sample-period is January 1926 to December 1996.   Suppose e^T   = 一0:087; where T = December 1996. Based on your answers in part (b), calculate the 1-step ahead and 2-step ahead forecast.

Part 2

The EViews printout gives the estimated AR(1)-GARCH(1) model.

(a) Write down the estimated AR(1)-GARCH(1,1) model.

(b) The EViews printout (next page) gives the correlogram of squared residuals. Is

the estimated GARCH(1,1) model appears to be well-speciÖed? Explain.

(c) Write down the expressions for the 1-step ahead forecast, E (aT(2)+1 jFT ) ; and 2- step ahead forecast, E (aT(2)+2 jFT ) ; of the conditional variance for a GARCH(1,1) model.

(d) The within-sample-period is January 1926 to December 1996.   Suppose e^T   = 一0:086 and T(2)  = 0:008; where T = December 1996. Based on your answers in part (c), calculate the 1-step ahead and 2-step ahead forecast.

Question 6

A plot  of monthly log returns  ( Tt ) , in percentages,  of Ford  stock  from January  1967 to December 2009 is given in Figure 6.1. The values of Tt  for the first two observations and the last three observations are given in Table 6. 1.

Suppose the log return Tt  follows the AR(1) model

Tt  = p0  + p1Tt − 1  + et

where et ~i. i. d. (0, G 2). Let Ft  = {Tt , Tt − 1, … , T1).

(a) Derive, step-by-step, the unconditional variance vaT(Tt ).

(b) Derive, step-by-step, the conditional mean E(Tt |Ft − 1).

(c) Explain whether the following statement is true or false: “Tt  is non-stationary because the conditional mean of Tt  derived in part (b) is not time-invariant” .

(g) For the AR(1)-ARCH(3) model, write down the 1-step ahead forecast of the conditional mean; that is E(TT+1|FT ).

(h) Based on the within-sample period from 1967m1 to 2009m12 and the estimated AR(1)- ARCH(3) model, calculate the sample 1-step ahead forecast of the conditional mean.

(i)   For the AR(1)-ARCH(3) model, derive, step by step, the 1-step ahead forecast of the conditional variance; that is E(GT(2)+1|FT ).