1.  The transition function for the reversible jump sampler is

T (x, A) =            Qm(x, dx )αm(x, x ) + s(x)I(x\\ e A)

m     a

where s(x) is the probability of not moving from x. Derive an explicit expression for s(x).

2.  Show that

P (dx)      Qm(x, dx\ )αm(x, x\ ) =      P (dx\ )     Qm(x\ , dx)αm(x\ , x)

a                 B                                                     B                   a

for each move type m in the reversible jump sampler. Use this to show that detailed balance holds, that is

P (dx)     T (x, dx\ ) =      P (dx\ )     T (x\ , dx)

a                 B                             B                   a

for all measurable sets A, B ∈ x .

3.  Recall the coal mining disaster model described in Example 8.5.1.  The data consists of the dates of 192 coal-mining disasters that occurred between 1851 and 1962.  We model the process as a Poisson process, with a time varying rate λ(t), where t runs from 0 to T.  The log-likelihood of a particular sequence of n events occurring at times t = (t1 , . . . , tn) with 0 < t1  < . . . < tn  < T is given by

n                               T

log λ(t』) _       λ(t)dt.

』=1                             0

We model the rate function λ as a step function with an unknown number of steps k occurring at times s1 , . . . , s亿 , where s0 = 0 < s1  < . . . < s亿  < s亿+1 = T. We let the value of the function be λj  on the interval [sj, sj+1) for j = 0, 1, . . . , k . We take the prior for k to be truncated Poisson, that is

p(k) x e/μ k(µ)!(亿)

where k  e u0, . . . , km)_} for some km)_  and µ  > 0.   We suppose that the prior for the step locations s1 , . . . , s亿  is given by the order statistics for k points distributed uniformly and randomly in [0, T], that is

k! 

p(s1 , . . . , s亿 ) =

We take λ0 , . . . , λ 亿  to be independently drawn from a Γ(α, β) density for given α, β > 0, so that

p(λj) = λ_/1e/aλ .

(a)  Determine the full posterior distribution of k , s and λ .

(b)  Devise proposal functions Qm  for each of the move types defined in Example 8.5.3:

i.  Changing the height λ』of a step, for some i e u0, 1, . . . , k},

ii.  Changing the position s』of a change-point, for some i e u0, 1, . . . , k},

iii. Inserting a new change-point at some location in [0, L], and

iv.  Deleting a change-point.

(c)  Show that for each m, the measure

Rm(C) =           IC(x, x\ )Qm(x, dx\ )P (dx)

-    -

has a finite density fm(x, x\ ) with respect to some symmetric measure ξm .

(d)  Determine the corresponding acceptance probabilities for each of these proposal densities.