Note:  This is an open-book online exam.   There are in total four problems and 25 questions. Please attempt all questions. The total mark is 50 and each question is worth 2 marks. You will have 2 hours and 30 minutes to answer the questions with handwritten solutions, and 30 minutes to scan and upload your solutions into Canvas.

Problem 1.  [14 marks] Consider a two-period model for returns Rt , t = 1, 2 of an asset. Let ε0  = 1, and

Rt  = µ + εt ,

εt  = σt νt ,    σt  = |εt − 1 |,

where µ = 1, and ν1 , ν2  are independent and identically distributed as

νt  =

for t = 1, 2.  Let Ft  be the information set available at time t.  Please answer the following questions.

(i) What is the probability distribution of R1 ?

(ii) What is the probability distribution of R2 ?

(iii)  Compute the conditional mean E1 (R2 ) := E(R2 |F1 ).

(iv)  Compute the conditional variance Var1 (R2 ) = Var(R2 |F1 ).

(v) Verify the law of iterated expectation E(R2 ) = E [E1 (R2 )] using numbers given in this problem.

(vi) What are the one-period ahead return point forecasts Rˆt  for t = 1, 2?

(vii) What are the two standard deviation one-period ahead return  interval forecasts for t = 1, 2?

Problem 2.  [10 marks] Consider the following decomposition of the return of some financial asset:

Rt  = µt + εt

where µt  = Et − 1 (Rt ) is the conditional mean of the return, and

εt  = σt νt ,    νt |Ft − 1  ~ N(0, 1).

Answer the following questions.

(i)  Show that εt  is white noise process.

(ii)  Show that εt(2)  is a conditionally unbiased proxy for σt(2) .

(iii)  Consider the following  “asymmetric volatility” model for the conditional variance:

σt(2)  = ω + βσt(2)− 1 + αεt(2) + δεt(2)− 1 1{εt − 1  < 0}.

What empirical fact does this model try to capture?  Explain why this model can capture this empirical fact.

(iv)  The model in (iii) is estimated on daily returns on some empirical financial time series and the following results are obtained:

Estimate ω    0.0519  α   0.0001  β    0.8427

δ    0.2178

Std Error

0.0104

0.0002

0.0221

0.0387

Describe how you would test whether the “asymmetric” term in this volatil- ity model is needed.

(v)  How to construct the out-of-sample one-period ahead rolling window fore- casts of the volatility using this model?

Problem 3.  [14 marks] Answer the below questions on the Value-at-Risk (VaR) and Expected Shortfall (ES) forecasting.

(i) Why VaR is often considered as a better risk measure than volatility?

(ii)  Suppose a stock return follows a normal distribution with mean µ and variance σ2 , i.e., Rt  ~ N (µ, σ2 ), for all t. What is the relationship between the 1% return VaR and the return volatility?

(iii)  Explain the relationship and the major difference between VaR and ES. Why is modelling ES useful?

(iv)  How to use the  “Historical  Simulation”  (HS) model  and the  “Filtered Historical Simulation” (FHS) model to forecast 1% stock return VaR and ES?

(v) Which method (between HS and FHS) would you prefer to use in practice? Why?

(vi)  How would you use the generalised  Mincer-Zarnowitz regression to test whether the 1% return VaR forecasts from a model is optimal? Be explicit about the regression model, the null and alternative hypotheses, and how to test the null hypothesis.