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Tutorial 6 Problem Set

1.  Consider that we have the following state transition model and observation model:

Xk+1  = Xk(2) + Vk ,

Yk  = Xk + Uk .

where Uk  ∼ N(0, 1) and Vk  follows the exponential distribution with pdf λ exp(−λx).  Derive the pdf of the state transition probability f (xk+1|xk) and the likelihood function g(yk+1|xk+1).

2.  At time tk, let Yk  = {y1 , . . . , yk} denote all the observations made at and before tk .  Suppose we have the posterior distribution of the state Xk  as p(xk|Yk). Prove that the predictive distribution takes the form of

∫

p(xk+1|Yk) =      f (xk+1|xk)p(xk|Yk)dxk ,

and the posterior given the new data yk+1  has the form of

p(xk+1|Yk+1) = g(yk+1|xk+1)p(xk+1|Yk).

3.  Consider the stochastic volatility model

Xn  = αXn − 1 + σVn ,

Yn  = β exp(Xn/2)Wn ,

where X1  ∼ N(x; 0, ), and Vn  and Wn  are iid N(0, 1).

(a)  Simulate (Xn, Yn) for n = 1, . . . , 1000, with α = 0.91, σ = 1.0 and β = 0.5.

(b)  Use the  bootstrap  filter to  generate  N  =  10000  estimates  of X1 , . . . , X1000   given the  observations

Y1 , . . . , Y1000 .  Plot the filter mean ±2 SD on the same axes as the true hidden states X1 , . . . , X1000 .

4.  Consider we have a Gaussian random variable X ∼ N(0, 1), a Gaussian random variable Y that has the law depending on X in the form of X  | Y ∼ N(X, a), and another Gaussian random variable Z that has the law depending on X in the form of Z | X ∼ N(−X, a), for some constant a > 0. First derive the joint density of (X, Y, Z), and then derive the marginal density of (Y, Z).  Are Y and Z independent?  Are Y and Z conditionally independent given X?  Justify your answer.  You can also generate random variables (X, Y, Z) to verify your answer.