1.  This is an individual assignment.

2.  Only documents in portable format (pdf) will be accepted.  You can use, e.g., LATEX, Word, knitr or Sweave to create your report, as well as RStudio as editor of the source files.

3.  Submit a single pdf file via Canvas using the submission link.

4. Formats  other  than  pdf will  be  ignored  and  the  author  will  be  asked  to  re-submit  the assignment.  Resubmissions will be subject to late assignment policy outlined in the study guide (i.e., 5% per day up to 5 days).

5.  The R and SAS codes required to complete this assignment, which includes code to support your conclusions & answers, must be embedded in the document in the corresponding answer as text (not image), unless otherwise specified. This code will be marked.  Unsolicited SAS and R scripts submitted separately will not be marked.

6.  Read  carefully  and  answer  all the  questions  as  requested.   Any  material  or  information unrelated to the correct answer may result in a significant reduction of marks for that question.

7. Fill in and sign the cover sheet which must be the very first page in the pdf.  Use software such as Adobe Acrobat Pro on the Uni computers to include the file at the start of your document. Do not submit the cover sheet separately.

8. If you need an extension or if your performance has been impacted by some extenuating circumstances, then you must complete the special consideration form on Canvas not later than 31 May 2023, 23:59.

9.  The comprehension of the questions is part of the assignment.

Source:  Snee, R.D. (1985) Graphical display of results of three-treatment randomized block experiments. Applied Statistics, 34, 71-77.

Use the resampling methods studied in class and perform the analyses in SAS to answer the following questions:

(a)  Does  the  control  group  differ  from  the  low  and  high  dose  groups  on  average?   Test

the  treatments  to  the  control  group  individually.    Justify  your  answer.    Include  the corresponding histograms, indicating the statistics used for the tests.  [Marks: 2 SAS code + 6 rest]

(b) If there is a difference in means between the treatments and the control group in the

analysis performed in question (a), estimate such difference via 95% bootstrap confidence intervals and interpret these intervals.  According to your results, is the drug effective? Justify your answer.  [Marks: 2 SAS code + 6 rest]

(c)  Do the treatments (low and high doses) differ in the produced chick weight on average? Can we argue substantial discrepancies?  Justify your answer.  Include the corresponding histogram, indicating in it clearly the statistic used for the test.  [Marks: 2 SAS code + 6 rest]

(d) If the cost of the drug is considerable significant, what would you recommend?  Justify your answer.  [Marks: 1 recommendation + 5 justification]

2. Verification of the fact that light travels at a finite velocity, and is not transmitted instantaneous- ly as early scientists (including Kepler and Descartes) had thought, is generally credited to Ole R¨omer,  who in  1676 made comparative measurements of the times of eclipses of Jupiter’s satellites from two different relative positions of Earth and Jupiter. But another two centuries passed before the experiments of Michelson and Newcomb in  1879-1882 provided what are considered the first accurate determinations of the velocity of light in vacuum.

In 1849 and 1850, the French physicists Fizeau and Foucault had separately devised methods of measuring the velocity of light. Foucaults’s method, as refined and improved by Newcomb and Michelson, was the source of the more accurate subsequent determinations. Foucault’s method consists in essence of passing light from a source off a rapidly rotating mirror to a distant fixed mirror, and back to the rotating the mirror. The velocity of light is then determined by measuring the distances involved, the speed of the rotating mirror and the angular displacement of the received image from its source.

In  1879,  Michelson  proposed  modifications to  a  plan  of Simon  Newcomb’s  and  made  100 determinations of the velocity  of light  in  air,  working over  a  distance of 600  meters.   At Michelson’s time, scientists believed that an invisible ether filled the universe, but Michelson’s experiments helped disprove the existence of this substance. Michelson invented the interferome- ter, which he used to measure the speed of light.  Michelson was awarded the Nobel Prize in physics in 1907, the first American citizen to be so honored.

The michelson .txt file contains Michelson’s measurements in km/sec. Now we know that the speed of light in vacuum is 299,792.458 km/sec.  Light in air is 1.0003 times slower than light in a vacuum, which slows it all the way down to 299,702.547 km/sec.  Suppose that your are the data analyst and you are asked to analyse the data. Total for Question 2: 35

Source:  Stigler, S.M.  (1977) Do Robust Estimators Work with Real Data?   The  Annals  of Statistics, 5, 1055-1098.

For more information visit http://www.randomservices.org/

Assume that Xi|µ,σ ∼ N(µ,σ ) for i = 12 , . . . ,n, with µ ∼ N(µ0 ,σ0(2)) and σ2 ∼ InvGamma(α,β). Xi is the speed of light in the ith Michelson’s experiment. It can be shown that the conditional distributions are given by

µ|σ,X1 , . . . ,Xn ∼ N \( , ( + )− 1 )

σ 2 |µ,X1 , . . . ,Xn ∼ InvGamma ( + α, (xi− µ)2 + β) .

Note that small α (shape) and β (rate) values have a small impact on the conditional distribution of σ 2 .

(a) Identify  and  define  the  parameters  of the  model.    [Marks: 1 identification + 2 definition]

(b)  Define the prior distributions.  Explain/justify the selection of the priors.  [Marks: 2.5 per prior]

(c) Implement the model in JAGS and run it to generate the posterior samples.  Comment on the MCMC specifications and the effective sample sizes (ESS). Generate trace plots of the posterior of the parameters and comment on them.  3-6 sentences.  [Marks: 5 code + 7 brief report]

(d)  Generate  a  95%  credible  interval  for  µ .    Interpret  your  results  and  propose  a  point estimate for this parameter.   Justify your answer.   [Marks: 2 credible interval + 2 interpretation + 1 point estimate]

(e) We now know the true speed of light. What do you conclude about Michelson’s estimates?

Answer this question in terms of the relative error.  [Marks: 2.5 calculations + 2.5 conclusion]

(f)  Calculate  the  95%  confidence  interval  for  µ  and  interpret  it  in  Michelson’s  problem.

Compare this interval to the credible interval calculated previously and discuss the differences. [Marks: 2 confidence interval + 3 interpretation and comparison]

(g)  (Bonus  question -  up  to  5 marks .)  Implement your own Gibbs sampling algorithm in R.

Compare your results to the ones obtained via JAGS to validate your implementation. Note that in R we can simulate random values from an inverse gamma distribution as follows:

1/rgamma(1,  shape=A,  rate=B)  =  invgamma::rinvgamma(1,  shape=A,  rate=B)

3.  The q3 .txt file contains data collected in the 1960s at a house in south-east England.  The weekly gas consumption (in 1000 cubic feet) and the average outside temperature (in degrees Celsius) was recorded for 26 weeks before and 30 weeks after cavity-wall insulation had been installed. The house thermostat was set at 20 Celsius degrees throughout. A description of the variables is found in Table 1. We aim to explain the gas consumption as a function of the other variables. Fit a Bayesian linear regression model in JAGS to answer the following questions. Total for Question 3: 35