Problem 1

In this problem, you will analyze the steady state of an infinite-period consumer analysis in which a ''credit crunch'' is occurring. Specifically, consider a real (and simplified) version of the infinite-period consumer framework in which, in each period of time, a budget constraint affects the consumerís optimization, and a credit restriction also affects the consumerís optimization.  In period t, the credit restriction has the form:

ct  = yt + (1 + rt ) at - 1

(hence, the restriction in period t + 1 is ct+1  = yt+1 + (1 + rt+1)at ; in period t + 2, it is ct+2  = yt+2  + (1 + rt+2)at+1; and so on).  The consumer's budget constraint in period t is:

ct + at 一 at - 1  = yt + rt at - 1

(hence, the budget constraint in period t+1 is ct+1+at+1 一at  = yt+1+rt+1at ; in period t +2, it is ct+2 +at+2 一 at+1  = yt+2 +rt+2at+1; and so on). In the above, the notation for period t is the following:  ct  denotes consumption in period t, rt  denotes the real interest rate between period t 一 1 and t, at - 1  denotes the quantity of assets held at the beginning of period t, at  denotes the quantity of assets held at the end of period t, and yt  is the consumerís real income during period t.  (Similar notation with updated time subscripts describes prices and quantities beyond period t.)

Denote by 8  e  (0; 1) the subjective discount factor,  by u(ct ) the period utility function in period t, by At the Lagrange multiplier on the period t budget constraint, and by 。t  the Lagrange multiplier on the period t credit restriction. (Similar notation with updated time subscripts applies to the periods beyond period t.)

The consumerís intertemporal utility is:

o

】 8s -t u(cs ):

s=t

The consumer chooses consumption and assets to maximize this intertemporal utility function subject to the sequence of budget constraints and credit restric- tions. The Lagrangian can be written as:

o

L = 】 {8s -t u(cs ) + 8s -t As [ys + rs as - 1 一 cs 一 (as 一 as - 1 )] + 8s -t。s [ys + (1 + rs )as - 1 一 cs] } :

s=t

1. Write the first two periods of this Lagrangian (t and t + 1) explicitly and find the first-order conditions for the optimal choices of ct  and at .

2. In no more than two brief sentences/phrases, describe/define (in general terms, not necessarily just for this problem) an economic steady state.

3.  Use just the first-order condition for at that you obtained above to answer the following: In the steady state, does the conclusion 1+r = 1=8 hold? Or is it impossible to determine? Carefully develop the logic that leads to your conclusion, including showing any key mathematical steps.  Also, brieáy, but thoroughly, explain the economic interpretation of your conclusion (i.e., something beyond what is simply apparent from the mathematics).

4.  Suppose the consumer begins period t with zero assets (i.e., at - 1  = 0). Also suppose the credit restriction holds with equality in every period. Is the consumerís savings positive, negative, or zero in the steady state? Or is it impossible to determine?  In answering this question, also brieáy define the economic concept of ìsavings.î

Problem 2

We focused on the effects on firmsíphysical capital investment in the discussion of financing constraints and the financial accelerator in the slides.  In reality, most firms spend twice as much on their wage costs (i.e., their labor costs) than on their physical investment costs.  (That is, for most firms, roughly two-thirds of their total costs are wages and salaries, while roughly one-third of their total costs are devoted to maintaining or expanding their physical capital.) For many firms, payment of wages must be made before the receipt of revenues within any given period. (For example, imagine a firm that has to pay its employees to build a computer; the revenues from the sale of this computer typically donít arrive for many weeks or months later because of inherent lags in the shipping process, the retail process, etc.) For this reason, firms typically need to borrow to pay for their payroll costs.  (The commercial paper market, about which there is often much discussion in the news media in times of crisis, is one type of channel  for such firm financing needs.)  But, because of asymmetric information problems, lenders typically require that the firm put up some financial collateral to secure loans for this purpose. Here, you will analyze the consequences of financing con- straints on firmsíwage payments using a variation of the accelerator framework from the slides.

For simplicity, suppose that the representative firm, which operates in a two- period economy, must borrow in order to finance only period- 1 wage costs; for some unspecified reason, suppose that period-2 wage costs are not subject to a financing constraint.

As in the slides, the firmís two-period discounted profit function is:

P1 f (k1 ; n1 ) + P1 k1 + (S1 + D1 )a0 一 P1 w1 n1 一 P1 k2 一 S1 a1

+  [P2 f (k2 ; n2 ) + P2 k2 + (S2 + D2 )a1 一 P2 w2 n2 一 P2 k3 一 S2 a2] :

Suppose now that the financing constraint that is relevant for the firmís profit maximization is:

P1 w1 n1  = S1 a1 :

The notation is as in the slides: P denotes the nominal price of the output the firm produces and sells  (and of capital);  S denotes the nominal price of stock; D denotes the nominal dividend paid by each unit of stock; n denotes the quantity of labor the firm hires; w is the real wage (as usual, subscripts on variables denote the time period of reference for that variable); a0 , a1 , and a2 are, respectively, the firmís holdings of stock at the end of period 0, period 1, and period 2; k1 , k2 , and k3 are, respectively, the firmís ownership of physical capital at the end of period 0, period 1, and period 2; i denotes the nominal interest rate between period  1 and period 2;  and the production function is denoted by f (:).  Finally, because this is a two-period framework, we know a2  = 0 and k3  = 0.

1.  Based on the information provided, construct the Lagrangian for the firmís profit maximization problem. Define any new notation you introduce.

2.  Based on the Lagrangian you constructed in Part 1, compute the first- order conditions (FOCs) with respect to k2  and a1 .

3.  Use the FOC with respect to k2 , the definition of ináation (1+π = P2 =P1 ), and the Fisher equation 1+r = (1+i)=(1+π) to show that the real interest rate on bonds is such that r = fk (k2 ; n2 ).