Notes:

(i) Please see Canvas Piazza for any additional instructions.

(ii) Remember to comment on all your output using your own words!

1. [20 marks] Use S3 to answer this question. We are interested in vectors on the plane. A vector has a starting position and an ending position, where the former is the origin by default. Each vector must satisfy the following conditions:

❼ The x and y coordinates of both starting and end positions contains no NA, NaN or Inf

values.

❼ If myvec1 contains n vectors then they are stored in a n × 4 matrix.

(a) Write a constructor function to create vectors. It can be a little like the "coords" example

in the notes. So something like

n  <- 8

set .seed(UPI .last)    #  UPI . last  =  last  digit  of  your  UPI

myvecs1  <- Vectors3(0 , 0 , rnorm(n), rnorm(n))

myvecs2  <- Vectors3(rnorm(n), rnorm(n), rnorm(n), rnorm(n))

should work.  Use recycling when natural.  The first produces 8 vectors emanating from the origin and potentially pointing in any direction.  The second are 8 vectors starting ‘near’ the origin and potentially pointing in any direction too.  [5 marks]

(b) Write a method to return the (Euclidean) length of the vectors. Then apply your function

to myvecs1 and myvecs2 separately.  [2 marks]

(c) Write a method to plot vectors. The user should be able to change some major characteris- tics such as the line width and colour. Then apply your function to myvecs1 and myvecs2 separately—show several different options to demonstrate that your function works quite flexibly.  [9 marks]

(d) By  increasing the value  of  n,  estimate the  asymptotic  mean  length  of  myvecs1  and myvecs2.   Call them estimates of E(L1 ) and E(L2 ) respectively.   For d  =  2, can you use simple results from mathematical statistics relating to E(L1(d)) and E(L2(d))—and demon- strate it with your data?  [4 marks]

2. [40 marks] In this question we we will look at polynomials, and later, a special type called orthogonal polynomials (albeit, simplifed a lot). We will do this question using S4.

(a) Define polynomial objects using the class  "poly4".  It should carry information on its

coefficients, and the domain upon which it is defined—assumed to be a simple interval on R of the form  (a, b).   Allow for some internal checking.   Then write a constructor function; make the default the constant 1 defined over the whole real line.  Hint:  rather than storing the degree of the polynomial, delete any leading 0 coefficients so that its degree is simply the length of its coefficients vector minus one, e.g., 2x + 0x4  is really of degree 1.  [4 marks]

(b) Use your code to construct objects representing the following polynomials over [ -1, 1]: P0 (x) = 1, P1 (x) = x, P2 (x) = (3x2 - 1), P3 (x) = (5x3 - 3x).  [2 marks]

(c) Write three accessor functions: to extract the coefficients of your polynomials, to extract the domain of the polynomial, and return the degree of the polynomial.  Run all three on P3 (x).  [3 marks]

(d) Write a show() method to print out the individual objects, preferably nicely.  However, just printing out the coefficients with a one sentence description explaining it will give you some marks. The following commands should work and print out something informative. Run your function on P0 (x) and P3 (x) like something as follows.  [6 marks]

P0

P3

(e)  Given polynomials

A2 (x)   =   a0 + a1 x + a2 x2 ,

B3 (x)   =   b0 + b1 x + b2 x2 + b3 x3 ,

C2 (x)   =   c0 + c1 x + c2 x2 ,

D3 (x)   =   d0 + d1 x + d2 x2 + d3 x3 ,

and a constant k, prove (vii), where the coefficients are written like a vector in ascending order of degree.  [3 marks]

(i)  k A2 (x) = (ka0 , ka1 , ka2 ),

(ii) A2 (x) + B3 (x) = (a0 + b0 , a1 + b1 , a2 + b2 , b3 ),

(iii) A2 (x) + C2 (x) = (a0 + c0 , a1 + c1 , a2 + c2 ),

(iv) A2 (x) . B3 (x) = (a0 b0 , a1 b0 + a0 b1 , a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 , a0 b3 + a1 b2 + a2 b1 , a1 b3 + a2 b2 , a2 b3 ), (v) A2 (x) . C2 (x) = (a0 c0 , a1 c0 + a0 c1 , a0 c2 + a1 c1 + a2 c0 , a1 c2 + a2 c1 , a2 c2 ),

(vi)  B3 (x) . C2 (x) = (b0 c0 , b1 c0 + b0 c1 , b0 c2 + b1 c1 + b2 c0 , b1 c2 + b2 c1 + b3 c0 , b2 c2 + b3 c1 , b3 c2 ), (vii)  B3 (x) . D3 (x) = (b0 d0 , b1 d0 + b0 d1 , b0 d2 + b1 d1 + b2 d0 , b3 d0 + b2 d1 + b1 d2 + b0 d3 , b3 d1 +

b2 d2 + b1 d3 , b3 d2 + b2 d3 , b3 d3 ).

Note:  these formulas will be used below to obtain the pattern for selecting a subset of each polynomial’s coefficients and taking the inner product. The subscripts add up to the degree of the xd term. If the coefficients are sorted in ascending order then the computation is not difficult.

(f) Ideally we want to allow for ‘addition’ and ‘multiplication’ . Let’s do it first for the simple

case of ‘addition’ (and ‘subtraction’ of course) only, where one of the operands is a single numeric. Implement this and then run it (your names for P0 (x) etc. will be different) on

2  +  P2

-1  -  P2

P3  +  1

P3  -  3

1 :2  +  P3    #  This  should  give  an  error

That is, write some S4 code to allow addition (and subtraction). Do this for case of: ((1)) one polynomial and a scalar numeric (it should give an error if a vector of length > 1 is used).  [5 marks]

(g) Now we want to allow for ‘addition’ (and ‘subtraction’) between two  "poly4" objects,

e.g.,

P0  +  P0

P1  +  P1

P2  +  P3

P3  -  P2

Implement this and then run it. Hint: use the formulas based on (1).  [6 marks]

(h) Now write some S4 code to allow multiplication of your polynomials. We need to do this

for two cases: between ((1)) one polynomial and a scalar numeric (it should give an error if a vector of length > 1 is used); and ((2)) two polynomials. Let’s do the first case first. [4 marks]

2  *  P3

P2  *  10

(1:2)  *  P3    #  This  should  give  an  error

(i) Now implement multiplication between two polynomials.  For this, you’ll need to check that both polynomials have the same domain. Run your code on

P0  *  P0

P1  *  P1

P1  *  P2

P2  *  P3

Hint: as it can be done without a for() loop, more marks may be awarded if you achieve this.  [7 marks]