Q1.  Short questions

(a)  Suppose we have the PDE: uyy  − uxy  + yuxx  = 1, on the region 0 < x,y, with the boundary conditions ux (0,y) = sin(y),u(x, 0) = 0.  Use reflections to extend this equation to the domain 0 < x, −∞ < y < ∞ .  How would you modify the equation and boundary conditions? (You are NOT expected to solve the resulting equation.)

(b)  Use an appropriate change of variables to convert the distribution δ(ln(|x|) − 1), into a sum of the form 对 ci δ(x − xi ).

Q2. Fourier Transforms

For this question you will use Fourier transforms to solve the Partial differential equation

utt − uxt − 6uxx  = 0,

with the initial conditions u(x,0) = 10e− |x|,ut (x, 0) = 0 on the domain −∞ < x < ∞ , 0 < t < ∞ .  For the sake of this question, you may assume u(x) → 0 and x → ±∞ without proof.  (I am aware the uxt  term will be unfamiliar, do not worry, the question contains scaffolding to help you find your way.)

(a) Apply the Fourier transform to the PDE, arriving at a second order ODE involving tt , t ,  and ω .

(b) This ODE will have two solutions of the form eiαωt  - that is to say, purely imaginary

exponentials, with some unknown constant α .  Find both such solutions, and hence find the general solution for  .

(c) Using appropriate Fourier theorems, transform back to the x coordinate, then use your boundary conditions to identify and eliminate all unknown functions.

Q3. Weak solutions

Consider the equation

^xux + uy  = 0,    0 < x < ∞ , 0 < y < ∞

With boundary conditions