General Instructions:

1. This quiz is open-book, but you are forbidden to discuss this quiz with anyone.

2. This file only contains  problem description.   You  must submit your answers on Canvas to receive grades.

Let z be a random variable that follows a distribution to be specified later.  Suppose that z1 ,z2 , . . . ,zn  are n independent, and identically distributed (i.i.d.)  realizations of z . In what follows, a, b, c, and d are constants.

(a)  Suppose that z follows a Bernoulli distribution, i.e., P(z = 1) = p and P(z = 0) =

1 − p. Answer Questions 1 to 6 on Canvas.

1.  Write E[z] and var(z) as functions of p.

2.  Suppose,  among  {z1 ,z2 , . . . ,zn },  there are n1   samples with zi   =  1 and n0 samples with zi  = 0. Write down the sample mean and the sample variance as functions of n1  and n0 .

3.  State the law of large numbers and the central limit theorem for the sample mean (note: write any version you learned from previous courses).

4.  Using the central limit theorem, construct the 100(1 − α)% confidence inter- val for p, for α = 0.05 and α = 0.01.

5.  Explain in words what a 95% confidence interval for p is.

6.  Using the central limit theorem, construct a test statistics for testing the null hypothesis H0  : p = 0.5 against the alternative Ha  : p  0.5.  Calculate the p-value if n1  = 31 and n0  = 91.

(b)  Suppose that z follows a distribution with probability density function  (p.d.f.) fz (z = x), x ∈ R, i.e., P(a < z  < b) = la(b) fz (z = x)dx for any constants a < b.

Answer Questions 7 to 10 on Canvas.

7.  Name three probability distributions, where the corresponding random vari- able takes continuous values (e.g., normal distributions).

8.  Write down the full names of p.d.f. and c.d.f.

9.  Explain the relationship between p.d.f. and c.d.f.

10.  Explain the difference between the sample mean and the expectation (i.e., the population mean).