Question 1

Answer True or False for each question. 1 point per question.

1  If G1(s), G2(s) are probability generating functions their product G1(s) . G2(s) is also a probability generating function.

True or false?

2  If X is a normal random variable and Y another normal random variable then their sum X＋Y is always normal random variable.

True or false?

3  There are normal random vectors (X, Y, Z) in R3 that have no density on R3 . True or false?

4  If A, B are events such that P(AlB) = P(A) then P(BlA) = P(B). True or false?

5  If X is a random variable such that P(X = x) = 0 for all rational numbers x then the random variable X is continuous.

True or False?

6  The sum of uncountably many positive numbers is always＋o. True or False?

7  From the distribution of the random vector (X, Y) we can uniquely determine the distribution of X＋Y only when X, Y are independent.

True or False?

8  The density of the sum of two independent absolutely continuous random variables is the convolution of their densities.

True or False?

9  If X, Y are uncorrelated random variables then they have expectation 0. True or False?

10  If X, Y are uncorrelated random variables then they are always independent. True or False?

11  If X is a normal random variable and Y is a normal random variable then X ＋ Y is a normal random variable.

True or False?

12  There is a random variable that has no expectation. True or False?

13  If U is a uniform random variable on the interval (0, 1) then 2U2 ＋3 is a uniform random variable on the interval (3, 5).

True or False?

14  If (X, Y) is random vector that has uniform distribution on the rectangle [a1, a2 ] × [b1, b2 ] then sin(X2)＋1 and cos(Y) are independent.

True or False?

╱．e-x,     if x is positive but not an integer

．

．．(0,        if x s 0

is a density for an exponential(1) random variable.

True or False?

Question 2

1. In placing the scrabble letters L, L, V, I, R, E, P, O, O in a random order what is the probability that a 9-letter word of a major city be revealed?

2. Consider n items and place them in random order. Assume that 2 of the items are red, 2 are blue and the rest have distinct colours neither of which are red or blue. What is the probability of the event “the first two items are red and the next two are blue”?

3. Consider n items and place them in random order. Assume that 2 of the items are red, 2 are blue and the rest have distinct colours which we call c1, c2, . . . , cn-4 neither of which are red or blue. What is the probability of the event A =“the first two items are red the next two are blue, the next item has colour c1, the next has colour c2, etc., and the last one has colour cn-4 ”?

4.  Replace the n in subquestion 3 by a random variable N with distribution P(N = n) = cpn, n = 4, 5, . . ., where 0 < p < 1. First determine c. Then consider the same event A as in subquestion 4 and compute P(A). Hint: You may use the formula ex  = ←0  .

Question 3

1. Let U, T be independent random variables such that U is uniform on the interval (0, 1) and T exponential(1). Compute E[e-UT ].

2. Let U, T be independent random variables such that U is uniform on the interval (0, 1) and T exponential(1). Compute the moment generating function of UT.

3. Determine the variance of UT.

4. Assume that N is independent of T, where T is exponential(1) and N is Bernoulli(p). Show that X = T ＋N is absolutely continuous and compute its density.

Question 4

1. Let (X, Y) be a random vector in R2 with density

f (x, y) = λ2e-λy for 0 < x < y < o.

Find the conditional density function and expectation of Y given X.

2. If (X, Y) is as above, find the expectation of Y.

3. Show that if U is a uniform(0, 1) random variable then X = - log(U) is an exponential(1) random variable.

4. Let X have density

f (x) =  , x e R.

What is the density of Y = 1/X? How does it compare to the density of X?