Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH 262

FINANCIAL MATHEMATICS

Question 1

Consider a binomial model market with interest rate i = 12%, two time periods N = 2 (three time points T = {0, 1, 2}), one risky asset S1 , where the prices of S1  (at each time point) are given by

(a) Find the missing price (justify your answer)          [4 marks]

(b) Find all fair prices at each node for a European put option (on the risky asset) with strike K = 110 and maturity T = 2.    [7 marks]

Question 2

Consider a market with time horizon N = 1, d = 2 risky assets, an interest rate i = 10%, a probability space Ω = {1, 2, 3, 4}, where P({ω}) = for any ω ∈ Ω . The initial prices of the risky assets are S0(1)  = 80 and S0(2)  = 85, and their final prices at time 1 are S1(1)  and S1(2), where for any ω ∈ Ω,

Question 3

Consider a market model with d = 1 risky asset, time horizon N = 1, interest rate i = 10%, a probability space Ω = {1, 2}, where P({1}) = , and P({2}) = . The risky asset has an initial price S0(1)  = 110, and a final price S1(1)  at time 1, where for any ω ∈ Ω,

Let  (Fn )n=0,1   be the filtration given by F0   =  {∅ , Ω}, F1   =  σ(S1(1)). Find the equivalent martingale measure(s).        [7 marks]

Question 4

Let Ω be a probability space. The following two questions are independent.

(a) Let  (Dn )n≥0   be a sequence of independent  {−1, 1} valued process with P(Dn  = 1) = = P(Dn  = −1) and assume that for n ≥ 1, Fn  is generated by D1 , . . . ,Dn  and F0  := {∅ , Ω}.  Define S0  := 0, and Sn  := 对k(n)=1 Dk  for n ≥ 1 and let Xn  := Sn + 1 for n ≥ 0.

Prove that (Xn )n≥0  is a martingale.                                               [9 marks]

(b) Let (Fn )n≥0  be a filtration.  Let (Xn )n≥0  be a martingale,  (Mn )n≥0  be a supermartingale and let (Yn )n≥0  be an adapted process.  Suppose that for any n ≥ 0, Mn  = Xn −Yn , prove that (Yn )n≥0 is a submartingale.   [7 marks]