Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

STATS320, Assignment 4, Semester 1 – 2023

This assignment contributes 7.5% of your final grade.

Maximum possible marks: 30 marks

1 A home appliance repair centre is open 24 hours a day.  Suppose that customers arrive at the service centre as a Poisson stream of rate λ = 4 per hour. The repair centre has 2 technicians who provide the service and due to limited space the centre can only accept a maximum of 4 customers in its waiting room. Any customer that arrive when the repair centre is full will immediately leave without entering for service. The service time is exponentially distributed with mean 10 minutes. Each repair service can only be done by one technician at a time, and customers leave immediately once service is completed.  Customers get service in the order they arrive.  All inter-arrival times and service times are assumed to be independent.

Let N(t) be the number of customers at the service centre at time t (in hours). Then N = (N(t))t≥0 can be modelled as a continuous time birth and death process with state space S = {0, 1, 2, 3, 4}.

a When there is no customer waiting and both technicians are busy, what is the probability that both technicians can finish their jobs at hand and take a break before another customer arrives?  [3 marks]

b What is the long term proportion of customers arriving that leave without receiving service?         [3 marks]

[6 marks]

2 Suppose two repair staff are always available 24 hours a day to fix broken photocopiers in a very large office building. Assume that breakdowns occur as a Poisson process of rate 12 per day, and it takes an exponentially distributed time with mean 4 hours for a single repair person to repair a single machine. Let N(t) denote the number of photocopiers that are broken down at time t, in- cluding any that are currently being repaired. If the number of broken down machines ever exceeds 10, then they are replaced, rather than repaired, so they do not enter the queue for repair. Suppose N(t) is modelled as a birth and death process with state space S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

a This birth and death process model makes a number of assumptions that might not be justified here.  Write down two assumptions that you think might make this model unrealistic, and briefly explain why. One or two sentences for each is ample here.  [2 marks]

b Draw the transition diagram for this system and write down the transition rates.  [2 marks]

c Obtain the equilibrium distribution for the number of broken down machines.  [2 marks]

d What is L, the expected number of broken down machines (including the one currently being repaired)?  [2 marks]

e For those machines that are repaired rather than replaced, what is W, the expected time from a machine breaking down until repairs on it have been completed?  [2 marks]

f A busy period has just started.  A busy period is a period during which at least one repair person is busy.  What is the expected time until the repair staff are next free to have a cup of coffee together (that is, what is the expected length of a busy period for them)?  [2 marks]

[12 marks]

3 People arrive at a single automatic ticket machine according to a Poisson process with rate 1 per minute.  If the machine is occupied they wait in an orderly queue, Once a customer reaches the machine, their individual service time is uniformly distributed between 1/2 and 1 minutes, independently of all others. Assume that the system is in steady state.

a Find the expected total number of people in the queue, including anyone at the ticket ma-chine?  [ 5 marks]

b What is the probability that an arriving customer finds the server busy?  [1 mark]

c What is the expected total time that a customer spends in the ticketing system?  [2 marks]

d How long on average will a customer spend waiting in the queue before reaching the ticket machine?  [2 marks]

e What is the expected length of an idle period?  [1 mark]

f What is the expected length of a busy period for the machine?  [1 mark]

[12 marks]