1.  A random variable X follows the normal distribution:  X ∼ N(3, 27).  What is the expected value of another random variable Y = 10 − X?

Answer:  10 −  × E(X) = 10 − 1 = 9.

2.  Let X and Y be two correlated random variables with covariance 10. We know that

• the standard deviation of X is 3, and

• the expected values of Y and Y2  are, respectively, 4 and 97.

What is the standard deviation of a third random variable Z = 3X − 2Y?

Answer:  Note that

Var(Z) = Var(3X − 2Y) = Var(3X) + Var(2Y) − 2Cov(3X,2Y)    = 9Var(X) + 4Var(Y) − 12Cov(X,Y)      = 9 × 32 + 4[E(Y2 ) − (E(Y))2] − 12 × 10

= 9 × 32 + 4(97 − 42 ) − 120

= 9 × 32 + 4 × 81 − 120 = 285.

Therefore, the standard deviation of Z is Std(Z) =^Var(Z) = ^285 ≈ 16.88.

3.  Suppose X is a random variable indicating the face value when a single unfair dice is thrown. The probability distribution of X is given by

7 − x

Let Y be another random variable given as Y =  − 3X . What is the covariance of X and Y?

Answer:  The covariance of X and Y is

Cov(X,Y) = Cov (X,  − 3X) = −3Cov(X,X) = −3Var(X).

The variance of X can be computed from the the probability distribution of X using the formula

Var(X) = E(X2 ) − [E(X)]2  =  − ()2  ≈ 2.22.

So the covariance of X and Y is −6.66.

Statistics

1.  Let X be a random variable with variance 1. Suppose we have a random sample for X with only two observations, X1  and X2 . We construct an estimator Z = 0.3X1 +0.7X2  for the population mean of X . Select all correct statement(s).

(a)  Z is an unbiased estimator for the population mean of X .

(b)  To estimate the population mean of X ,  Z is less efficient than another estimator Y  =

0.5X1 + 0.5X2 .

(c)  Z is a biased estimator for the population mean of X .

(d)  The variance of Z is 0.5.

(e)  The mean squared error of Z is greater than the variance of Z .

Answer:  (a) and (b).

2.  Consider the following summary of a data set on the weekly earnings (in hundreds of dollars) of residents of NSW with a colleague degree:

• Number of observations (n): 25

• Sample mean (X): 20.5

• Sample standard deviation (X ): 8

We assume that the weekly earning in the population is normally distributed with unknown mean and unknown variance.

Please select the correct 95% confidence interval for the mean of the weekly earning (in hundreds of dollars) in the population.

(a)  [17.2, 23.8]

(b)  [17.8, 23.2]

(c)  [19.8, 21.2]

(d)  [20.0, 21.0]

(e)  [6.8, 34.2]

(f)  [4.0, 37.0]

Answer:  (a). X ±tn−1 ,0 .025 · X  = X ±tn−1 ,0 .025 · ^n(σˆX)  = 20.5±t24 ,0 .025 8^25  = 20.5±1.6 × 2.0639.

So the confidence interval is [17.2, 23.8].

3.  The sample mean estimator becomes more efficient when sample size increases. (True or false?) Answer : false

4.  A researcher is evaluating whether a job training program had an effect on employment of NSW veterans in the following half a year.  Taking a sample of 30 veterans who took the training, what should the researcher conclude if there is a mean increase in employment of 15 percent with 6 percent standard error of the mean?

(a)  The program had a significant positive effect on employment at the 10% significance level. (b)  The program had a significant positive effect on employment at the 5% significance level.

(c)  The program had a significant positive effect on employment at the 1% significance level.

(d)  There is not a significant effect found at any of the 10%, 5%, or 1% significance level.

Answer:  (a) and (b) There are 30 − 1 = 29 degrees of freedom, and the critical values of t test

t29 ,0 .05  = 1.699,    t29 ,0 .025  = 2.045,    t29 ,0 .005  = 2.756,

for 10%, 5%, 1% tests.  The t statistic is 12/6 = 2.5.  So we reject at both 10% and 5% levels, but not in the 1% level.

Regression

1. Which of the following is/are not considered as a classical linear regression model?

(a)  Y = (β1 + β2 X)− 1 + u.

(b)  Y = β 1 + β2 X1 + eβ3 X2 + u.

(c)  Y = β 1 + β2 ^X + u.

(d)  log(Y) = β 1 + β2 log(X) + u.

(e)  log(Y) = β 1 + β2 X + u.

Answer:  (a) and (b).

2. We have a sample of two random variables X  and Y .  The sample means of X  and Y are, respectively, 4 and 10. We run a simple OLS regression of Y on X and obtain the intercept as

30. What is the value of the estimated slope coefficient of this regression? Answer:  We know that the OLS estimator of the intercept is

βˆ1  = Y − βˆ2 X

where βˆ2  is the OLS estimator of the slope coefficient. Therefore,

βˆ2  = Y βˆ1  = 10  30 = −5.

3.  Suppose we run an OLS regression of Y on X, and obtain the slope coefficient as 2.4. However, later the units of measurement of X got changed, and the new measure is 1/12 of the original one.  What is the new slope coefficient if we run the OLS regression of Y on X with the new measurement?

Answer:  2.4 × 12 = 28.8. See Exercise 1.13 in textbook.

4.  The R2  of an OLS regression is 0.75. The sum of squared residuals is 10. What is the value of the below quantity?

n                                                                         n

Answer:  This quantity is ESS. Given

R2  = ESS =       ESS      

TSS      ESS + RSS ,

we have

0.75 =

from which we can solve ESS= 30.

5.  For a multiple regression

Y = β 1 + β2 X2 + β3 X3 + u,

the 95% confidence interval for β2  will be

(a)  centered at βˆ2 .

(b) wider if the sample size becomes smaller.

(c)  centered at β2 .

(d) wider than the 99% confidence interval.

(e) wider if the standard error of βˆ2  becomes smaller.

Answer:  (a) and (b).

6.  Select the correct statement(s) about regression analysis.

(a)  The residual is a concept related to the fitted model, not the true model.

(b)  The difference between the disturbance term and the residual is related to the difference

between the parameters and estimates of the parameters.

(c) We can observe the disturbance term.

(d) We have realizations of the disturbance term.