SECTION A. Answer at least ONE  question

Question 1

(a).  Consider this representation of a non-defaultable Öxed-interest market, where the left hand column represents the prices of four non- defaultable securities; the right hand table their payo§s in the next three periods and the right hand column the associated discount factors:

┌'''8(9)4(1)┐''' =  ┌'''1(1) 1(1) 1(1)0(0)┐''' '(┌)'(┐)

(i) Identify the arbitrage opportunity and explain how you could exploit this; [3 marks]

(ii) Explain how arbitrage activity would tend to make prices consis- tent [2 marks]

(b) Now consider this representation of a market in which three coupon bonds are traded:

'(┌)'(┐) =  '(┌)11(1) 1 1'(┐)

(i) Find the values of the three discount factors; [10 marks]

(ii) How much would an annuity that generated cash áows of $100 in each of the three periods cost in this market?  [3 marks]

(iii) Construct a portfolio of the dollar coupon bonds that generates cash áows of $100 in each of the three periods.  [7 marks]

Question 2

(a) The Vasicek model assumes that the short term (spot) interest rate yt  is normally distributed. What type of probability distribution do yields obey in this model? When is this assumption likely to be unreal- istic? [3 marks]

(b) Why would it be more realistic to use the model:

(1)

in this situation. [3 marks].

Turn over page

(c) Using the price formulae for the Vasicek model shown in the aide memoire, Önd the expected values of:

(i) The one-period ahead price Dm-1;t+1  of an m-period discount bond, [5 marks]

and:

(ii) Its one-period gross return.  [4 marks]

(d) Show that the Sharpe ratio (the price of risk A) is the same on all bonds and does not depend upon time or maturity. Is this realistic? [5 marks]

(e) Brieáy indicate two ways that the risk premia can be allowed to vary with the level of the spot rate in the previous period (yt-1 ).   [5 marks]

SECTION B. Answer at least ONE question

Question 3

(a) If U(W) represents the utility of wealth (W), state FOUR proper- ties that the utility function should have for it to represent the behaviour of a rational risk averse investor.  [4 marks]

(b) Which of these properties are satisÖed by the negative exponential utility function:

U(W) = - exp(-7W)=7;   7 > 0:                          (1)

[4 marks]

(c) Does this speciÖcation provide a realistic description of most peo- pleís attitudes towards risk?  [4 marks]

(d) Sketch the negative exponential utility function with 7 = 1.  [3 marks]

(e) Use the Lemma in the aide memoire to show that if wealth is normally distributed with mean u and variance a2 ; then expected utility can be expressed as a simple linear equation in u and a2 .  [10 marks]

Question 4

Suppose that there are N risky assets with returns rt(i)+1 and a risk-free asset with a return yt  that is known in period t: DeÖne the N -vector rt  = (rt(1); :::; rt(N))\ and the N2 conditional covariance matrix Vt (rt+1) = 甘t : Also suppose that all investors are mean-variance investors that share the same evaluations of expected returns Et (rt+1) and risk Vt (rt+1); which

are consistent with the CAPM:

Et (rt+1) - 4yt  = Et (r - yt )8t                                          (1)

where r is the return on the market portfolio and 4 is a conformable unit vector.  Adding an idiosyncratic prediction error vector et+1  gives ex post returns:

rt+1 - iyt  = 8t (r - yt ) + et+1:                           (2)

where et+1  is uncorrelated with r and Et (et+1) = 0.

Consider the portfolio optimization problem faced by a mean-variance investor h in period t :

F =   ax[Et (r) - 7h Vt (r)]:                        (3)

where r = xt(h)rt+1  + yt  is the ex post return on her portfolio, xt(h)  = (x1(h);t ; :::; xN(h);t )\  and xi;(h)t  is the share of wealth she invests in the ith risky asset.

(a) Interpret the parameter 7h ; [2 marks]

(b) Find the value of the vector xt(h)  that solves the problem in (3); [6 marks]

(c) Find the value of 7h  = 7m  for a ëmarket investoríwho only holds the market portfolio; [6 marks]

(d) Use the fact that the beta coe¢ cient on the market portfolio is unity to show that idiosyncratic risk for the market investor is identically equal to zero; [6 marks]

(e) Show that because other investors share the same evaluation of risk and return as the market, they are not exposed to idiosyncratic risk. [5 marks]

SECTION C. Answer at least ONE question

Question 5

A security price P follows a GBM under the risk-neutral measure:

dP (t)

P (t)

where P (0) = 1 and z(T) is a normal random variable under this mea- sure, with the probability density:

f(z(T)) =  exp[-z(T)2 =2T]                           (2)

Under the probability measure ○ :

f o (z(T)) = f(z(T))Q(z(T)):                             (3)

where:

Q(T) = exp[- T + az(T)]:                               (4)

Note that the expectation of any random variable X(T) under the mea- sure Q is: E o (X(T)) = E(Q(T)X(T))

(a) Show that:

f o (z(T)) =  exp[-zQ (T)2 =2T];

where zQ (T) = (z(T) - aT):[8 marks]

(b) Show that under ○ the security price P follows the Geometric

Brownian Motion:

= (y + a2 )dt + adzQ :

P (t)

[4 marks]

(c) (i) Show that P (T) can be expressed as:

P (T) = exp[log P0 + (y + )T + azQ (T)];

where zQ (T) ~ N(0; 1) under the measure Q.  [5 marks]

(ii) DeÖne the ëevent indicatorí I【PT>X}  which takes the value 1 if P (T) > X and 0 otherwise. Show that

EQ [I【PT>X}] = probability that P (T) > X under the measure Q = ψ[d1];

where d1   is deÖned in part  (7) of the Aide Memoire and  ψ[:] is the standard normal distribution function.  [8 marks]

Question 6

Given the Black Scholes formula for a call option with strike price X and time to expiry T in the Aide Memoire:

(a) Show that its derivatives satisfy:

S0 ψ\ [d1] exp[yT] = Xψ\ [d1 - a ^T]:                        (1)

[7 marks]

(b) Derive the ëGreeksí) ; f; 9: [9 marks]

(c) Show that the Black Scholes formula provides a valid solution to the Black Scholes Partial Di§erential Equation [6 marks]:

fa2 S2 + yS) + 9 = yc:

(d) What happens to the value of a delta-hedged short call position if volatility increases?  [3 marks]

Question 7

(a) Use the BlackñScholes formula for a European call option on a zero dividend stock with price S0  and put-call parity to show that the price of a European put option with the same strike price X and expiry date T > 0 is:

P0  = e-yT Xψ (-d2 ) - S0 ψ (-d1 )

where:

log(S=X) + (y + a2 =2)T

a ^T

[10 marks]

(b) Consider writing a European call option on a non-dividend paying stock that is currently trading at a price of £ 50. It has an expected return of 5%; the risk free rate is 1% and volatility is 30%. Your client speciÖes an exercise price of £ 50 and time to expiry of 3 months.

(i) Calculate the price of this option.  [10 marks]

(ii) What is the risk-neutral probability that it will be exercised?  [3 marks]

(iii) How many units of the stock do you initially need to hold to hedge this short call position?  [2 marks]