(b)  Can this system function as a bistable switch? Are there any conditions for n?

(c) Assume now that transcriptional regulation occurs with delay τ . How will the Hill equations change in this case?  Write down the new equations.  What is the biological reason for the delay?

(d)  Can this system function as a genetic clock? Are there any conditions for n or τ ?

(e) Explain what is the meaning of a Hill coefficient (a coefficient of cooperativity). Could it be non-integer? Why?

(f) In lectures we have considered a model of a genetic associative perceptron. Sketch the genetic network and explain briefly how this system works as an associative perceptron, showing responses to different stimuli.

(g) In lectures we discussed how intrinsic genetic noise can extend the memory of an association. Explain briefly a mechanism for this effect.

2. The Fitzhugh-Nagumo system of differential equations is the following:

dv

= bv - γw

dt

where f (v) = v(a - v)(v - B), 0 < a < 1 and B = 1.

(a)  Consider a = 0.25, b = γ = 0.003 and Ia  = 0:

(i) Find all equilibria of the system and classify them by linearising the system near each equilibrium

(ii)  Graph the nullclines

(iii)  Sketch a trajectory in the phase plane if the system starts below both nullclines, but beyond the second local maximum of f (v), at w = 0. How

would we refer to this typical dynamical regime?

(b) Now consider a = 0.25, b = 0.03, γ = 0.3 and Ia  = 0:

(i) Find all equilibria of the system.

(ii)  Graph the nullclines.

(iii)  Classify each of the equilibria by the behaviour of the local vector field. (iv)  Sketch the typical trajectories for the following starting points

A. Below the w-nullcline and below v-nullcline, in the region where v ≈ 0.6, w ≈ -0.1,

B. Above the w-nullcline and above v-nullcline, in the region where v ≈ 0.3, w ≈ 0.1.

(c)  Consider a different model described by the equations:

= v -     - w,

= v + 2b,

dt

where b is a constant. By analysing the eigenvalues of the equilibrium points, find the values of b, for which the only attractor is

(i) a stable fixed point;

(ii) a limit cycle.

4.   (a) Explain an experiment that clearly demonstrates that transporting oxygen by diffusion is only efficient at very short distances.

(b)  Consider oxygen transport with uniform diffusion constant D = 1/2 and uni- form absorption rate µ = ν2 /2 within an infinite network with equally spaced nodes d apart along its entire length as shown in the figure below.  The net- work consists of pipes of length d with free ends open to the outside, where the oxygen concentration is a constant Φ . Oxygen transport in the pipes is purely diffusive, i.e., there is no advection.  Find the oxygen concentration x at the internal nodes in terms of Φ, defining carefully any other quantities that you need.

(c) Now consider oxygen transport with uniform diffusion constant D = 1/2 and uniform absorption rate µ = ν 2 /2 within a different network as shown in the figure below.   After each pipe of length L the network branches into three pipes of the same length L, and this repeats indefinitely.  Again there is no advection.  At the beginning of the network there is an open end, where the oxygen concentration is a constant x. Find the expression for the concentration xn  at nth branch. What is the value of xn  if n → -? How does xn  depend on L? Briefly explain your findings.