Questions

1. Elementary probability (total 24 marks)

Assume a population of unknown size N whose members are labeled from 1 to N, e.g. runners in a marathon, trains in a subway network or enemy tanks. Suppose you observe the serial number X = 42.

a) What is the probability that the population size is N? To make things easier, assume that, due e.g. to information from the intelligence service, only two equally likely sizes are possible, N1   =  100 and N2   =  1000, and use Bayes’ extended theorem to find P (Ni |X), i = 1, 2. (14 marks)

b) Discuss a possible (Bayesian or frequentist) approach to estimate N from X when no information on the a priori probabilities P (Ni ), i e N, is available. (8 marks)

c) Briefly explain why often small companies use large invoice numbers with e.g. 5 or 6 digits even if they actually issue only a few hundred invoices per year. (2 marks)

2. Stochastic processes with continuous states (total 38 marks)

A Markov process is continuous if its transition probability density function satisfies

lim   1                 f1o1(x2 , t + ∆t | x1 , t)dx2  = 0   A∈ > 0 uniformly in x1 , t and ∆t.

a) Is this an almost certain limit, a limit in the mean, a limit in probability or a limit in distribution? Which of the other limits does it imply? (5 marks)

b)  Show that for the Cauchy process, whose transition probability density function is

t2 _ t1                     

f1o1(x2 , t2 | x1 , t1 ) =

the above limit is different from zero and thus the process is not continuous.  A sim- ple way to do so is using l’Hˆopital’s theorem, which, together with the fundamental theorem of calculus, avoids computing the integral. (15 marks)