SECTION A. Answer at least ONE  question

1.  Suppose there  are N risky assets with mean vector µ and full-rank covari- ance matrix Σ .  Let ι denote an N × 1 vector of ones. The optimal portfolio weights of only risky assets are given by

Σ−1 (µ − ινh ) 

wh  =                                                                             (1)

where νh   is the shadow risk-free rate (the Lagrange multiplier for the con- straint wι = 1 in the portfolio optimization problem) for investor h.

(a)  [20 marks] Denote the expected return of portfolio h as µh .  Show that the minimum-variance porfolio weights can be expressed as:

wh  = Σ−1ι + Σ−1µ ,                    (2)

where A = ι\ Σ−1ι , B = ι\ Σ−1µ , C = µ\ Σ−1µ .  [Hint: Write the equation for µp  and substitute out νh  in Eq.(1).]

(b)  [20 marks] The global minimum-variance portfolio has weights:

wg  =  = Σ−1ι ,                   (3)

where A is as defined in (a).

Show that every portfolio has the same covariance with the minimum- variance portfolio. Give the economic intuition for this result. [Hint: Re- call that a covariance between any two portfolios a and b can be written as wΣwb .]

(c)  [20 marks] Find weights wd   of a portfolio d on the upper part of the mean-variance frontier that is tangent to the straight line drawn from the origin, as shown in the following figure. What is the expected return on portfolio d?

(d)  [20 marks] Show that any portfolio on the minimum-variance frontier, as given by Eq.(2), is a combination of the global minimum-variance portfolio g and portfolio d from (c).

(e)  [20 marks] What is the mutual fund (or separation fund) theorem? What are the practical implications of this theorem? Discuss it assuming both that the risk-free asset exists and does not exist. [Word limit: 300]

2.  Consider a one-factor square-root model, which is a discrete-time version of the Cox, Ingersoll and Ross (1985) model.  Denote log stochastic discount factor by mt  ≡ log(Mt ) and assume that it is defined as:

Denote a log price of a zero-coupon bond at time t with face value equal to one and remaining maturity m by pm,t   ≡  log(Pm,t ), and the corresponding m − period yield by ym,t  = −  .

(a)  [20 marks] Derive an expression for the one-period yield, y1t  = −p1t, in terms of xt  and model parameters.

(b)  [20 marks] Derive the recursive solution of the affine coefficients am  and bm  in the model:

− pm,t  = am  + bm xt .                                          (6)

Show the intermediate steps in the derivation.

(c)  [20 marks] Show that the expected log excess return on an m − period bond over one-period rate is given by

Et [pm −1,t+1  − pm,t  − y1t] = − ( bm(2)−1  + αbm −1) σ 2 xt                     (7)

Show the intermediate steps.

(d)  [20 marks] From Eq.(7), what sign should we expect α to have? Why? Explain. [Word limit: 300]

(e)  [20 marks] What are the consequences of the square-root assumption of the state variable xt for the properties of the model? Comment on the implied properties of interest rates, their volatility and the risk premium. [Word limit: 300]

SECTION B. Answer at least ONE question

3.  Consider an investor with initial wealth W0  who chooses a portfolio to max- imize her expected utility of wealth next period, where the utility function is power (CRRA) with coefficient of relative risk aversion γ:

U(W) = ,    γ > 0.                                           (8)

Assume that the wealth next period, W1 , is uncertain and lognormaly dis- tributed, i.e.

w1  ≡ log(W1 ) ∼ N(µw ,σw(2)).                                        (9)

(a)  [20 marks] Find the expected utility function, E0 [U(W1 )], expressed in terms of the model parameters.

(b)  [20 marks] Show that maximizing the expected utility in (a) is equivalent to maximising F :

F = µw  +  (1 − γ)σw(2)                                                            (10)

[Hint: Apply monotonic transformations to E0 [U(W1 )].]

(c)  [20 marks] Assume that there are two assets, a riskless asset with log return rf  and a risky asset with log return r1 . Assume that the log risky return is normally distributed, r1  ∼ N(µ,σ), and that the optimal portfolio places a weight α on the risky asset.  It can be shown that the log rate of return on wealth can be approximated as

rw  ≡ log(1 + RW ) ≈ rf  + α(r1  − rf ) + α(1 − α)σ2 .                  (11)

Use this approximation to find the expected return and variance on the wealth portfolio rw .

(d)  [20 marks] Using the results from (c), find the optimal share of the risky asset in the investor’s portfolio, α∗ , that maximize the expected utility (or its monotonic transformation F in (b)).  [Hint:  Recall that W1  = W0 (1 + RW ).]

(e)  [20 marks] Define the Sharpe ratio of the log return on the risky asset

as:

E[r1 ] − rf  + σ 2

.

Find an expression for the derived utlity function (the investor’s utility F maximized at α∗ ) as a function of initial wealth, the riskless interest rate, the coefficient of relative risk aversion and the Sharpe ratio of the risky asset.

4. Assume an economy with a representative investor who maximizes a time- separable power utility function:

Vt  = U(Ct ) + βU(Ct+1) + β2 U(Ct+1) + . . . ,                        (13)

where

Ct(1)−γ  − 1

1 − γ    ,

Ct  is aggregate consumption and γ > 0. Moreover, assume that consumption growth is lognormally distributed, such that Et [∆ct+1] = µc,t and Vart [∆ct+1] = σc(2), where ∆ct+1  ≡ log  .

(a)  [10 marks] Find the expressions for:

i. the coefficient of absolute risk aversion;

ii. the coefficient of relative risk aversion.

What are the properties of these coefficients? Are they reasonable? Explain.

(b)  [10 marks] Find the stochastic discount factor for this economy.

(c)  [20 marks] Derive the continuously compounded real risk-free rate. What is the elasticity of intertemporal substitution in this model? Comment on its properties.

(d)  [20 marks] Assume that risky asset returns are lognormally distributed and homoscedastic.   Denote the conditional variance of asset’s i  log returns as Vart [ri,t+1]  =  σi(2)   and its covariance with the consumption growth as Covt [ri,t+1 , ∆ct+1] = σic . Find the log risk premium on asset’s

i, i.e.

Et [ri,t+1  − rf,t ] +  .

Show intermediate steps.

(e)  [20 marks] Using the historical data you found that the mean real ex- cess log return on the S&P 500 index over the rate on Treasury bills is 0.08 with a standard deviation of 0.18 and its covariance with log con- sumption growth is 0.003.  Explain the equity premium puzzle and use the information on the historical data to illustrate it in the context of the lognormal power utility model. [Word limit: 300]

(f)  [20 marks] Using the historical data you found that the mean log growth rate of consumption is 0.018  and its standard deviation is 0.03.   The average real interest rate is also 0.018.   Suppose that you decide to assume that the relative risk aversion coefficient in the lognormal power utility model γ is 32 and the time discount β in Eq.(13) is 0.98.  Explain the risk-free rate puzzle and use the information on the historical data to illustrate it in the context of the lognormal power utility model. [Word limit: 300]