SECTION A. Answer at least ONE question

1.  Suppose that the price of interest rate risk is constant and that the real spot rate rt  follows the first order autoregressive process on an annual basis:

rt＋1  = (1 _ φ)µ + φrt + ξt＋1 ,                                 (1)

where ξt＋1 is an i.i.d. normal error term. The logarithm (dm,t ) of a real discount bond price (Dm,t ) with remaining maturity m at time t is an affine function of the spot rate:

_dm,t  = am + bmrt ,                                        (2)

where am  and bm  are defined in the Aide Memoire.

(a)  [5 marks] Use these results to derive a formula for the m_period discount yield ym,t .

(b)  [5 marks] How do am  and bm  behave as maturity becomes very large?

(c)  [5 marks] How does ym,t  behave as maturity becomes very large?

(d)  [5 marks] Suppose that φ = 0.2.   Calculate the effect on the yields of the 1, 5, 10 and 20_year bonds of an one-point change in the spot rate. Comment on your results.

(e)  [5 marks] Suppose that the log nominal stochastic discount factor is

mt($)＋1  = mt＋1  _ πt＋1 ,                                   (3)

where

_mt＋1  = rt + βξt＋1                                                       (4)

with the dynamics of rt  given in (1) and and πt＋1  is the log inflation rate following an AR(1) process:

πt＋1  = ρπt + ∈t＋1 ,                                     (5)

where ∈t＋1  ~ N (0, σπ(2)) and Covt (∈t＋1, ξt＋1) = 0.  Using the fundamental pricing equation:

dm($),t  = Et [mt($)＋1  + dm($) _1,t＋1] + Vart [mt($)＋1  + dm($) _1,t＋1],         (6)

show that the log nominal zero-coupon bond prices dm($),t  are affine in rt and πt :

_dm($),t  = am($) + bm($)rt + cm($)πt ,        (7)

i.e. find (in a recursive form) the coefficients am($) , bm($)  and cm($) .

2. Assume that at time t an oil company share price is St  = S. A major legal judgement concerning an oil spill is due to be announced at time T > t. If this is favourable its share price will move up to STu , otherwise it will move down to STd .  The risk-free rate is a constant Y .  Consider a riskless portfolio with value Vt  at time t and VT  at time T  that holds θ shares and is short of one call option that costs ct , has a strike price of STd  < X < STu  and expires at time T.

(a)  [5 marks] Express the value of the portfolio at times t and T.

(b)  [5 marks] How are the values of the portfolios at these times related?

(c)  [5 marks] Derive the value of θ that makes the portfolio riskless.

(d)  [5 marks] If St   = 500, X = 500, STu   = 600, STd   = 300, Y = 0.1 and T _ t = 6 months, find the numerical values of:

·  Vt  and VT ;

· ct  and cT ;

· the risk-neutral probabilities held at time t for the two states at time

.

(e)  [5 marks] Discuss the profitability of exercising early (i.e. before the ma- turity) American call and put options. Does it differ for dividend paying and non-paying stocks?  [Word limit: 300.]

SECTION B. Answer at least ONE question

3. Let Ri denote the return on risky asset i, and assume that returns are normally distributed as Ri   ~ N(µi , σi(2)) and Cov(Rl , R2 )  = σ l2   = σ l σ2 ρ l2 .   Suppose initially that there are just two assets, that both are risky and there are no transaction costs.  Let x denote the portfolio share held in the first asset and Rp  = xRl + (1 _ x)R2  denote the return on the portfolio.

(a)  [5 marks] Derive the efficiency frontier representing this two asset case. (b)  [5 marks] Sketch the results for the following special cases:

i. ρ l2  = 1 and σ l  > σ2 ;

ii. ρ l2  = _1;

iii. ρ l2  = 0.

(c)  [5 marks] What happens if:

i. ρ l2  = 1 but σ l  = σ2 ?

ii. an asset with a known return Y is introduced into b(i) and b(ii)? Assume that nothing else changes.

(d)  [5 marks] Explain how the Sharpe Separation Theorem can be used to find the efficiency frontier quickly.  [Word limit: 300.]

(e)  [5 marks] Briefly explain how small investors can use mutual funds to optimise their portfolios when transactions costs are significant.   [Word

limit: 300.]

4.

(a)  [5 marks] If U (W) represents the utility of wealth (W), state two proper- ties that the utility function should have for it to represent the behaviour of a rational risk averse investor.  [Word limit: 300.]

(b)  [5 marks] Are these properties satisfied by the quadratic utility function:

U (W) = aW _ bW2 ;    W > 0,                           (8)

where a, b > 0?

(c)  [5 marks] Find the coefficients of absolute risk aversion and relative risk aversion for the quadratic utility function in (8). Describe their behaviour as W increases (assume that W < ). Is it a reasonable characterisation of investor’s behaviour?  [Word limit: 300.]

(d)  [5 marks] Show that the expected value of any well defined utility function can be approximated by a function of expected value and variance of wealth.  [Hint: Use a second-order Taylor series expansion.]

(e)  [5 marks] If the investor holds two assets, a risky asset with return R and a risk free asset with return Y, using a linear approximation to the utility function derive the required risk premium ρ satisfying

U (W × (1 + Y)) = E[U (W × (1 + R))],                    (9)

where E[R] = Y + ρ .

SECTION C. Answer at least ONE question

5.  Consider the discrete-time random walk process

wt  = xl + x2 + ... + xt ,     t > 0,                            (10)

where the increments xi  are independent and:

E[xi] = w0  = 0  and Var[xi] = 1.                           (11)

(a)  [5 marks] What are the means, variances and standard deviations of:

i. w2 ;

ii. wl0 ;

iii. wt ;

iv. s ×wt    (where s is a constant).

(b)  [5 marks] Consider the position wt  of this process at time t and the effect of taking smaller and smaller sub-intervals of time. Call the length of the sub-interval ∆t. Find expressions in terms of ∆t for:

i. the number (N) of sub-intervals in the sample period running from 0 to t;

ii. the mean, variance and standard deviation of the change in the pro- cess during any sub-interval of length ∆t.  Assume homoscedasticity as in (a);

iii. the mean, variance and standard deviation of wt  (by aggregating the changes over these N sub-intervals);

iv. the mean, variance and standard deviation of the limit of the change dwt  in wt  as the time interval ∆t becomes infinitesimal.

(c)  [5 marks] Noting that wt /N is the sample mean of the changes over the N sub-intervals, what does the Central Limit Theorem tell you about the distribution of wt  under the homoscedasticity assumption as ∆t the time interval becomes infinitesimal?

(d)  [5 marks] When is the homoscedasticity assumption not likely to be valid? [Word limit: 300.]

(e)  [5 marks] Give three examples and briefly discuss continous-time stochas- tic processes widely used in finance.  [Word limit: 300.]

6.

(a)  [5 marks] Derive the Black-Scholes formula for the price c0  at time 0 of a European call option on a zero dividend stock with price S0 using put-call parity and the formula for the price of a European put option with the same strike price X and expiry date T > 0:

p0  = e_yT X Φ /_d1 + σ ^T、_ S0 Φ (_d1 )                   (12)

where:

d1  =

log(S0 /X) + (y + σ2 /2)T

σ ^T               .                (13)