Player 1    A B

Player 2

A         B

The players have a common discount factor 6 e (0, 1). Instead of using grim-trigger

strategies to support the cooperative actions (A, A) to be played in a subgame perfect

Nash equilibrium, suppose that the players wish to choose a less draconian punishment

called a “length-T punishment” strategy. Specifically, if there is a deviation from (A, A), then the players will play (B, B) for T periods and then resume playing (A, A).  If a deviation punishment occurs in the “punishment phase,” then the players will again be asked to play (B, B) for next T periods. Let 6T be the critical discount factor such that if 6 > 6T, then the adequately defined strategies will implement the desired path of play with length-T punishment as the threat.

(i) Let T = 1. What is the critical value δ l to support a SPE in which (A, A) is played in every period?

(ii) Let T = 2. What is the critical value δ2 to support a SPE in which (A, A) is played in every period?

(iii) Compare the two critical values in (i) and (ii). How do they differ and what is the intuition for this?

Ex. 3 — Bertrand Competition with Asymmetric Information

Consider a Bertrand competition between two firms producing a homogeneous good.

Each firm i e {1, 2} chooses a price pi  e R＋ for its product.  The demand for firm i’s product is then given by qi(pi, pj) = a _ pi  _ bipj, where bi measures the sensitivity of firm i’s demand to its rivalry’s price pj . The cost of production is zero.

For each firm i, the sensitivity parameter bi  e {bL , bH } is its private information. We assume that bH  > bL  > 0, and bl and b2 are independently and identically distributed, with the prior distribution given by Pr(bi = bH ) = θ e (0, 1) and Pr(bi = bL ) = 1 _ θ .

(1) Write down the strategy space and the payoff function of each player.

(2) What is the Bayesian Nash equilibrium (BNE) of this game?

Ex. 4 — Providing A Public Good

Suppose that a public good is provided to two people if at least one of them is willing

to pay the cost of the good, which is c > 0. Each player i e {1, 2} privately knows his valuation vi  e [0, ] for the good, where > c. The valuations are independently drawn according to a cumulative distribution function F (.), which is assumed to be continuous and strictly increasing.

The following mechanism determines whether the public good is provided.  Both

players simultaneously submit envelopes; the envelope of each player i may contain ei- ther a contribution c or nothing (no intermediate contributions are allowed).  If both players submit 0, then the good is not provided and each player’s payoff is 0. If at least one individual submits c then the good is provided. In this case, the payoff of player i is vi _ c if he submitted c, and it is vi if he submitted 0.

(i) Show that there exists a symmetric Bayesian Nash equilibrium in which each player uses the following cut-off strategy: si(vi) = c if and only if vi  > v*, where v* is some cut-off value that depends on F (.) and c.