Exercise 1:  First-order ODEs.   By using the series expansion around zero for the solution: y(x) = 对 an xn , solve the ODEs:

1. y\ − y = 0. Hint: the solution is y(x) = a0    = a0 ex .

2. y\ = 2xy . Hint: the solution is y(x) = a0    = a0 ex2 .

Exercise  2:   Hyperbolic  cosine  and  sine.   Find the general solution of

ODE

y\\ − y = 0,                                                   (1)

by using the series expansion of y(t) around t0  = 0:

∞

y(t) =工 an tn .

n=0

In your solution, use the following Maclaurin series for the hyperbolic cosine

cosh(t) =  

and the hyperbolic sine

sinh(t) =  

Exercise  3:   By using the series expansion around t0   = 0, find the general solution of the ODE

y\\ + ty\ + y = 0.                                              (2)

Hint: You should arrive to the closed form formulas for the series coefficients

( − 1)k                                                              ( − 1)k                  

a2k  = 2 · 4 · 6 ··· 2k a0 ,    a2k+1  = 3 · 5 · 7 ··· (2k + 1)a1 .