where ✏i  are iid N(0, 1),  and β0 ,  β1  and  a are unknown parameters .  Then, the unknown parameters β0 , β1  and a can not be separately identified and estimated by maximum like- lihood .

(d)  The multinomial logit model is likely to generate unreasonable substitution patterns if some of the options are close substitutes .

A3  (12 points) Consider a collection of iid random variables {zi} drawn from a distribution with

the probability density function  (pdf) fZ (z;λ0 ) for some unknown λ0  > 0 .  The pdf fZ (z;λ0 ) is known to belong to the following parametric family  (with λ > 0):

fZ (z;λ) =

if z > 1 ,

otherwise .

As usual, λ0  denotes the true value of the parameter of interest, which the researcher wants to estimate .

(a)  Write down the log-likelihood function .

(b)  Derive the  maximum  likelihood estimator and  argue that  it’s  consistent  for  λ0 .   (Hint: To show consistency use that fact that Eλ0 [log zi] = λ)

(c)  Derive  the  Fisher  information  for  λ and the  asymptotic  variance  for ,  i .e .   provide  an expression for ⌃ such that satisfies ^n( − λ0 ) !d N(0, ⌃) .

(d)  Suppose that n = 100 and P log zi = 0 .25 .  Use the asymptotic distribution established in  (c)  to  test  the  hypothesis  H0  :  λ0  =  5  against  the  alternative  Ha  :  λ0 5  at  the  5% significance level .

PART B

Answer one of the two questions in this section .

B 1  (40  points)  Assume  you  work  as  an  impact  evaluation  specialist  with  the  government’s  tax

audit office .  The office aims to target audits at the firms most likely to engage in tax evasion . Every year, government tax analysts calculate a risk score for every firm .  The risk score takes into account firm characteristics and prior firm behaviours that are associated with tax evasion propensity.  The risk score varies from 0 to 200 .  Firms with a risk score above  120 are selected for  audit .   The director of the tax  audit office is concerned that  a tax  audit might drive firms into  informality  (i .e .   stop filing  their  tax  declaration) .   She  asks  you  to  evaluate  the  e↵ect  of audits in 2018 on tax filing behaviour in 2019 .   (For the purpose of this question, assume that tax declarations for year X are filed in year X) .

(a)  Describe how you would conduct this evaluation .  What is the objective of interest you will

estimate, and what assumption would you need to make?

(b)  How would you test the assumption?  What data would you need for this?

(c)  Assume that your evaluation  (using the methods described in part a) suggests that being subject to an audit increases a firm’s likelihood of filing its tax declaration in the following year by 5 percentage points .  The director of the tax administration has long been striving to increase tax filing rates .  Non-filing is particularly high among small firms .  The director concludes that your  evaluation “shows that we  can  increase tax filing  rates  among  small firms by auditing these firms” .  Do you agree with this statement?

(d)  After  delivering  your first  evaluation  report,  you  learn  that  the  2018  audit  programme actually worked  as follows:  The tax  audit office used the risk score to select  90 firms for an audit .  This group contains all the firms that had a risk score above  120 .  Among these 90 firms, 10 firms were deemed “politically sensitive”, and were not audited .  Can you still apply  the  procedure  you  proposed  in  part  a)  to  evaluate  the  e↵ect  of the  audits  on  tax filing  in  2019?   Why,  why  not,  or  under which  conditions?   Please  illustrate  your  answer with examples .

B 2  (40 points) Consider consumers who face the choice between  J alternative products  1 , 2 , . . . ,J

(with no “outside option”) .  The products have one common observed characteristic xj  2 R and consumer i’s utility from product j is given by

uij  = ↵ + β(Ii− pj)+ Vxj + ✏ij ,

where pj  is the observed price of product j and Ii  is individual’s income, that is not observed . Unobserved  utility  components ✏ij  are  iid  across  both  i and  j and  have  extreme  value  type- I  distribution .    As  usual,  let  ✓ =  (↵ , β ,V)\  denote  the  vector  of  unknown  parameters .    Let Yi   2  {1, 2, . . . ,J} be the choice of consumer i.   To sum up, the researcher observes a large random sample of individual choices {yi} and the product characteristics {pj,xj}, which are treated as non-random.

(a) Write down the conditional choice probability P(Y = j|I;✓).

(b) Is that a problem that the researcher does not observe Ii? Explain. Provide the expression for P(Y = j|✓) and write down the likelihood  (or log-likelihood) function  (note that it should depend on the observables only).

(c)  Can ↵ be identified and estimated by maximum likelihood? Explain.

(d) Explain why we need J > 3 in order to be able to identify and estimate the remaining parameters β and V.  (Hint:  This is a harder question.  Since we do not have any observed variation  in  the  choice  related  characteristics  at  the  individual  level,  maximum  likelihood simply  tries  to  match  the  observed products’ shares  sj   by  the  choice probabilities P(Yi  = j|✓) = P(Yi = j|β ,V) predicted by the model.  Try to see what goes wrong when J = 2 .)

Now consider a random-coefficient version of the previous model

uij  = ↵ + β(Ii− pj)+ Vixj + ✏ij ,

where unobserved Vi  is allowed to be consumer-dependent. Suppose that Vi  are iid across i and independent of all the other variables.  We also suppose that Vi  are drawn from the following distribution

Vi = (

with with

probability q,

probability 1 − q,

where V 6 V. As before, ✓ = (↵ , β ,V,V,q) denotes the vector of unknown parameters.

(e)  Provide the expression for P(Yi  = j|✓) and write down the likelihood (or log-likelihood) function. It might be helpful to start with writing down P(Yi = j|I,V, ✓).

(f)  Can ↵ be identified and estimated by maximum likelihood in this model?  Explain.  How many products do we need in order to be able to estimate the remaining parameters β , V, V, and q? Explain.  (Hint:  This question is closely related to question (d) .  Exactly the same reasoning applies .)