Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

BMAN71122: Time Series Econometrics

Review Questions: III

1 Estimation and Testing

1.  Prove that the conditional log-likelihood of an ARMA(p,q) model can be expressed as:

where                                 1 (ξ; x) = - n   log 2π - - log 2 ,                                       (1)

Interpret this result. 2  = tn21 \2 .                               (2)

2.  Consider a stationarry AR(p) process:

Xt  = φ 1 Xt − 1 + . . . + φp Xt −p + Zt ,                                          (3)

where {Zt } ~ WN (0, σ2 ).

● Let γ(h) = t [Xt Xt −h ], for h ≥ 0. Derive the Yule-Walker equations:

γ(1) = φ1 γ(0) + φ2 γ(1) + . . . + φp γ(p - 1)

γ(2) = φ1 γ(1) + φ2 γ(0) + . . . + φp γ(p - 2)

(4)

. . . =   . . .

γ(p) = φ1 γ(p - 1) + φ2 γ(p - 2) + . . . + φp γ(0)

● Explain, how the Yule-Walker equations can be used for estimating the unknown pa- rameters.

3.  Suppose you were trying to differentiate between an AR(1) and an MA(1) but could not estimate any regressions. What would you do?

4.  Outline the steps needed to perform a Diebold-Mariano test that two models for the condi- tional mean are equivalent (in the MSE sense).

5.  Outline the steps needed to perform a unit root test on as time-series of FX rates.  Be sure to detail the any important considerations that may affect the test.

6.  Let {Xt } be a trend-stationary time series defined by

where {Yt } is a stationary series. Defined two new time-series {Zt } and {Wt } by:

Zt  = Xt - a` - a1 t,    and   Wt  = (1 - B)Xt ,                                  (6)

where B denotes the back-shift operator.

● Are {Zt } and {Wt } stationary?

● If yes, which time series ({Zt } or {Wt }) has larger variance? Interpret this result.