1   Stationarity

1.  Let {Xt } be a strictly stationary time series. Is it true that

● The random variables Xt  are identically distributed for all t.

● The  distribution  of a  random  vector  (Xt . Xt+h)  is  the  same  as  the  distribution  of (X1 . Xh+1) for all t and h.

●  {Xt } is weakly stationary.

Justify your answer.

2.  Show that an i.i.d. sequence is strictly stationary.

3. Is any i.i.d. sequence is weakly stationary? Is it a white noise process? Justify your answer.

4.  Let {Xt } and {yt } be independent weakly stationary time series.  Is it true that the time series {Zt } defined by:

Zt  = aXt + 8yt .

where a and 8 are known constants, is weakly stationary as well?

2   Time series models

1.  Give an example of a white noise which is not an i.i.d. noise if such a time series exists.

2.  Let {Xt } be a moving average processes of order 2 (MA(2)) defined by the equations:

Xt  = Zt + 91 Zt − 1 + 92 Zt −2 .

where {Zt } ~ wN ╱0. 72、and 91  and 92  are real parameters.

● Prove that {Xt } is weakly stationary.

● Calculate the mean and variance functions of {Xt }.

● Derive the autocorrelation function of {Xt }.

3.  A time series {Xt } is called autoregressive process of order 1 with mean u if the time series {Xt - u} is an AR(1) process (with mean zero). Assume now that {Xt } is a stationary series defined by equations:

Xt  = c + φXt − 1 + Zt .    t = o o o . -1. 0. 1. o o o .

where {Zt } ~ wN ╱0. 72、and c and φ are real parameters and lφl , 1.