Question 1

A  basketball  player  attempts  20  shots  from  the  field  during  a  game.  This  player generally hits about 35% of these shots.

(a) In  order  to  use  a  binomial  model  for  the  number  of  made  baskets,  what assumptions are needed in this example? (5 marks)

(b) How many baskets would you expect this player to make in the game? (5 marks)

(c) What is the probability that a player hits more than 11 shots (12, 13, 14, …, or 20)? (5 marks)

(d) How many points would you expect the player to score if all of these are 2-point shots? (5 marks)

(e) If this player randomly takes half of the shots from 3-point range and half from 2-point range and makes both with 35% chance, how many points would you expect the player to score? (5 marks)

Question 2

A  car  magazine journalist wants to  investigate whether  British  or Japanese  cars  are generally more likely to break down. The table below shows the data collected by the journalist  on the  percentages  of cars that broke  down  at least  once  a year  across  a sample  of  18  car  dealerships,  9  selling  British  cars  and  9  selling Japanese  cars.  The editor  of the  car  magazine  has  asked you  to  conduct  appropriate  statistical  tests  to compare the reliability of British and Japanese cars.

(a) Under what conditions can we apply a parametric (i.e. z or t) test to compare the reliability of British and Japanese cars? (3 marks)

(b) Supposing that the conditions in part (a) above hold, conduct the appropriate parametric  test  at  the  5%  level  of  significance  to  compare  the  reliability  of British and Japanese cars. Clearly state your null and alternative hypotheses and explain your conclusion. (15 marks)

(c)  Supposing that the conditions in part (a) do not hold, recommend which non- parametric test would be appropriate to compare the reliability of British and Japanese cars. Justify your choice of test and clearly state the null and alternative hypotheses.  (7 marks)

Question 3

Patients who are given a hospital appointment but do not turn up for it are a serious problem for the NHS in two important respects. They reduce the efficiency with which hospital  clinics  can  be  run  and  they  can  harm  their  own  health.  These  patients  are referred to as DNAs (Do Not Attends). Suppose that the target DNA rate for hospitals is 10%.

(a) Suppose   that   at   a   particular   clinic   that   has   20   patients   booked   in   for appointments, there is a probability of 0.1 that each patient is a  DNA. Which probability distribution is most suitable to model the number of patients who attend a clinic? Justify your answer carefully. (5 marks)

(b) Two hospital doctors each have one clinic per week, with 20 patients booked in for each of them. Data from 100 such clinics held over a 12 month period is given below.

Use a goodness of fit test to show that they are unlikely to have come from a Binomial (n=20, p=0.1) distribution. (15marks)

(c)  One possible explanation of why the above data does not come from a Binomial (n=20, p=0.1) distribution is: the DNA rates for the two doctors are different.

Explain  carefully  how  you  would  investigate  if  this  possible  explanation  is supported by the data. (You may assume that the data on the clinics for the two doctors can be separated.) (5 marks)

Question 4

The cost of treating individual surgical patients in hospital varies widely. The cost is believed to depend to some extent on the length of time that the patient stays in hospital and the seriousness of the operation they undergo. Data has been collected on the cost of treating 200 such patients and is summarised at the end of the question in the form of descriptive statistics, produced using SPSS. The cost of hospital treatment (in £s) has been  regressed  separately  against  their  length  of  stay  (in  days)  and  against  their operation  duration  (in minutes) using  SPSS, with the  results  shown in the  following pages under the headings MODEL 1 and MODEL 2 respectively.

(a) Which  of  these  models  show  evidence  of  a  significant  linear  relationship between  treatment  cost  and  the  explanatory  variable?  Justify  your  answer. Express any significant relationship(s) in words. (5 marks)

(b) On the basis of the output provided, comment on the apparent quality of the two models. (4 marks)

(c)  The results of using SPSS to predict the cost of treating a patient who stays in hospital for 4  days and has an  operation  duration of 55 minutes for the two models are shown below.

Use your preferred model to advise the hospital management on the likely cost of an average patient with these characteristics, and of an individual patient with these characteristics. Comment on the level of accuracy of your predictions. (5 marks)

(d) Assuming that the model implied by your preferred regression is appropriate, sketch a diagram showing how the data would be spread in comparison to the regression line. Indicate the correct scales on your diagram, as far as possible. (7 marks)

(e) Explain in terms of the diagram you created in part (d) of this question what you would expect to see that would indicate that the errors in the model did not obey the regression assumption concerning constant variance. (4 marks)