OPEN BOOK : Books and lecture notes may be referred to.

INDIVIDUAL WORK: help from others or plagiarism is not permitted.

PLEASE READ INSTRUCTION BELOW CAREFULLY

•    Attempt all the questions

•     Provide complete workings to obtain maximum credit

•     Explain each table or graph, comments in your code

•    Give special attention to your understanding and explanations for the answers

•     Please be clear and concise with the wording, explicit and exact with the formulas

Send a SINGLE REPORT FILE (word or pdf type) with Latex or MathType (or equivalent, but no handwriting).

•     Mention your full name, email contact, date and class information on the cover page

•     Include a table of content at the beginning of your report

•     Number all pages in your report

•     Mention questions, paragraph titles & numbers

•     Include wording copied in red at the top of each of your answers

•     Summarize with a paragraph of introductions and of conclusion for each response

•     Reference any external source or research with names and dates in appendix.

Provide All PROGRAM FILES, e.g. Programing in VBA, R, Matlab or Mathematica, Python, C++. Java or others. All programs need to be readable, commented and executable (bug free).

1/ Upfront Credit Default Swap

Traditionally most CDS are traded as a fixed running spread paid through-out the life of the contract. Then the market has turned towards upfront CDS, where in addition to a              (different) fixed running spread there is an immediate (upfront) payment when the deal is  entered. This event is referred in the literature as the Big Bang:

”The market for credit-default swaps on corporate and sovereign debt goes through a major overhaul on Wednesday, with changes that will standardize the terms of many of these       insurance-like contracts and make them more similar to the bonds they are tied to.

Named the ”Big Bang Protocol” by the International Swaps and Derivatives Association, the raft of reforms will streamline the way the swaps are traded and how they would be settled  if bonds or loans default. The adjustments are designed to help facilitate centralized clearing of the swaps, which are used by banks and money managers to hedge their portfolios or to  make bets on the performance of companies and countries. ”

”For Credit-Default Swaps, Today Comes the Fix-It”, S Ng and E Barrett, Wall Street Journal, April 8, 2009.

In this new formulation, instead of choosing the spread to equate the value of the contract   legs to the protection buyer and seller, the spread is fixed at the same level for all contracts and the upfront is chosen as an add-on at the initial time to match again the legs. The         suggestions in ISDA use just one of two running spreads, 100 bps for investment grade CDS and 500 bps for high yield CDS. The recovery is also restricted similarly to be either 40% or 20%. The upfront payment can be negative or positive, based on where the corresponding   fair spread would be with respect to the fixed spread and on possible recovery differences.

Task: Develop a modified version of the standard credit default swap pricing formula to take into account the upfront spread.

Hint: Make some field research on the websites of the ISDA (www.isda.org and

www.cdsmodel.com). See also: Beumee, Johan G. B., Brigo, Damiano, Schiemert, Daniel   and Stoyle, Gareth, Charting a Course Through the CDS Big Bang (April 7, 2009). Available

at SSRN: http://ssrn.com/abstract=1374407

2/ Bond pricing equation

Consider a risky (corporate) zero bond V (r, λ, t), where

|(dλ = γ (r, λ, t) dt +  δ(r, λ, t) dW1

〈|d(d)W(r)1d(=)

and p.dt is a probability of default, so p = e{−λT} for time from t = 0 to T . By constructing a hedging portfolio

Π (r, t) = V(r,λ, t) − ∆*V* (r,λ, t) − ∆Z(r, t)

where Z(r, t) is risk-free zero coupon bond, V and V*  have correlation one, the recovery R

>0.

Task: Formulate the Bond Pricing equation for V.

Note explain your reasoning in meaningful details, your assumptions, and your interpretation of the market and credit price of risk.

3/ Rating Transition

To model migration (change) of credit ratings, transition matrices are used. Transition    matrix is an equivalent of a pdf for discrete data. It represents probabilities of change in rating over finite horizon. The transition probability should be reflected in a fair price of a claim, for example, a bond re-rated from BBB to A should experience noticeable              appreciation. The highest probability is usually of no migration.

Consider transition matrix Pdt of probabilities for a change of rating over small dt.

(1 − pdt    pdt 

Pdt  = |    0          1  )|

The transition matrix represents a two-state Markov Chain for a simple rating model with   ’default’ and ’no default’ states for one reference name. Given that λ is constant and small, the top left probability of no default is close to 1. However, once default occurs the            probability that a firm stays in default is equal to 1 (the lower right corner). Default is ’an  absorbing state’ .

3.1 Given that Qdt = I − P find intensity matrix Q.

3.2 For constant interest rates, we can set up an equivalent of transition density function

 = (rI + Q)V

where vector VT  = (V, V1) has bond values for each of states as its entries. Find solutions for V1 and V by substituting the matrices V, Q defined in previous steps and solving a system of two linear ODEs. The final condition for the bond value in default is V1(T; T) = θ where θ is  a recovery rate.

3.3 Interpret the role of probability of default p in the pricing solution for bond V .

4/ Copula Function and CDO

4.1. Sklar theorem. Joint distribution function (cdf ) can be presented as:

F (xi )i ∈N*     = P (Xi  ≤ xi )i ∈N*

Show the necessary steps to derive a copula function as :

C (ui )i ∈N*     = P (Ui  ≤ ui )i ∈N*

4.2 A bivariate European binary call option pays one unit of currency if both underlying        assets are above the strike at maturity. Consider a simplified scenario with risk-neutral       rates r = 0.00% (zero), time to maturity of a derivative T = 0.5 (6 months), and two assets with the same current price S = 110, strike E = 120, correlation px   = 0.4 and volatilities a1     = 0.2 and  a2   = 0.4.

Use the Frank Copula to price a bivariate binary call B such that:

B (S1 , S2 , t ) = e− r (T −t )C (u1 , u2 )

C (ui )i ∈Nn(*)    =  ln 1+

The parameter α is converted to Kendall's tau correlation using:

ρκ  = 1 − (D1 (−α)−1)      D1 (−α) = ∫0(α)dx +             assuming:  = 1 −  +  − O (x4 )

Hint: First find the probabilities that single-asset binaries will be in the money ui  = N(d2),  then substitute them into the copula function to model dependence. Association parameter α can be found analytically. You may use Excel and Solver.

4.3. A synthetic CDO is comprised of the following underlying portfolio:

Assets: 125 single-name CDS

Principal: 0.8 million for each name

Maturity: 5 years

1 year PD: 3% for each name

Recovery: 40% for each name

The indenture of the CDO is given in the Table below:

Tranche   Senior      Mezzanine Equity

Attachment point

7%- 100%

3%-7%

0%-3%

4.3.a   How many defaults must happen before the Mezzanine tranche would experience a capital loss?

4.3.b We can model this CDO using the one-factor representation of Gaussian copula:

A = ωZ +  ε

where Z is a common factor and ω is a factor loading. By rearranging around the       idiosyncratic factor εi  == N(0, 1), explain and show that the conditional probability of default is:

F (t = 1 Z ) = Φ 

Hint: P(Ai ≤ di) is equal to the unconditional probability of default.

4.3.c Denote K to be the number of defaults by year one, i.e. t = 1. Given that only two outcomes are possible (default or not), which probability distribution would K follow and why?

Conditional on the 1st  percentile of the common factor Z (that, for example, represents       market crash regime) and using ω= 0.3, calculate one-year probability of capital loss in the Mezzanine tranche.