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Tutorial 7

MTH 223

1.  Suppose that N has the following mixture Poisson distribution with p.m.f.

← θne ←9

pn  = Pr(N = n) =                     g(θ)dθ  for  n = 0, 1, 2, 一 一 一 ,

入 n!

where the mixing random variable Θ has p.d.f.

1 9 − 入

g(θ) = β e ← &       for θ > λ and λ, β > 0.

(a)  Prove that

pn = 入β j 0 ╱ 、j λn←j for n = 0, 1, 2, 一 一 一 .

(b) Find the m.g.f. of Θ .

(c) Use the double expectation formula and your result in part (b) to show that the p.g.f. of N is given by

GN(t) = e入(t← 1) [1 … β(t … 1)] ←1 .

(d)  Determine E(N) and Var(N).

2.  Suppose N has the logarithmic distribution with the pmf

pn = ╱ 、n ,    n = 1, 2, 3, . . .

for β > 0.

(a) Using the fact that … ln(1 … x) = , determine the p.g.f. of N .

(b) Using the p.g.f. found in (a), determine E[N] and Var(N).

3. Let N be an (a, b, 0) member with a = 0.8 and b = 0. Identify the name of the distribution of N and the corresponding parameter(s).

4. Let N be an (a, b, 0) member. In terms of its parameters a and b, find an expression for E[N]