Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Applied Matrix Theory

ECE-GY 5253 Final

Spring 2023

Firm deadline:  May 10th  (Wednesday), 8 pm (Eastern Time)

Problem 1

Are the following statements true or false? If true, write a proof; If false, give a counter-example.

(a) Let A,B ∈ Rn ×n  be two symmetric matrices such that AB = BA. Then, there exist an orthog- onal matrix P and two diagonal matrices D , D\ , such that A = PDPT  and B = PD\ PT .

(b) Consider linear equation Ax  =  b for matrix A  ∈ Rn ×n   and vectors x,b  ∈ Rn .   Then, the Gauss–Seidel iteration algorithm always converges to a true solution x* .

Problem 2

Consider a linear system,

z˙i (t) =   j i zj (t) − zi (t),   where i ∈ {1, ...,n}.

(a) Letting z(t)  =  [z1 (t),z2 (t), . . . ,zn (t)]T , the above systems can be written as a matrix-based

differential equation z˙(t) = Az(t). Find the matrix A.

(b) When n = 3, show that all states zi (t) converge to a common value, regardless of the initial conditions zi (0).

(c) Will the states zi (t) converge to a common value for n > 3?  (Give the answer and show the proof)

Problem 3 (Bonus Question, 10 pts)

Consider the Euler discretization of the system in problem 2  and n is an arbitrary integer larger than 2, with sampling period T > 0: for i ∈ {1, ...,n},

zi (k + 1) = zi (k)+T 「(l)  j i zj (k) − zi (k)  .

When T < 1, will the states zi (k) asymptotically tend to a common value, say z* ? That is, zi (k) → z* as k → ∞ (Give the answer and show the proof).