1.  Consider a CRR model with stock price S with value at time 0 given by S0   =

40.  Over a single period, S can either move up to 50 or down to 30, with equal probability. The (continuously compounded interest rate is 10% in each period.

(a) Use R to compute the risk neutral probability of an upward move.    [5 marks]

(b) In the single period case, compute the value at time zero of a European call option with maturity T = 1 and strike price 45.        [10 marks]

(c)  Consider now the six period case, where in each step the upward factor is 5/4 and downward factor is 3/4.  You may use here the following function which generates the values of the stock at any time between t = 0 and t = 6.

Stocktree  = matrix(0, nrow=7, ncol=7)

u  =  5/4

d  =  3/4

for  (i  in  1:(7))  {

for  (j  in  1:i)  {

Stocktree[i,j]  =  40  * u^(j-1)  *  d^((i-1)- (j-1)) }

}

Stocktree

 i. Use the Stocktree to find the median of S6 .                                [5 marks]

ii.  Compute the value at any node of a European call option on S in this six-period model, with maturity T = 6 and strike price 45.        [20 marks]

2. Let S0  = 10, T = 2, µ = 1 and σ 2  = 2 i.e. one risky asset which has value at time

T given by

ST  = S0 e(µ −σ 2 /2)T+σBT

where  B  denotes standard Brownian motion.   Recall that  BT   follows a normal

distribution with mean 0 and variance T.

(a) With the values µ, σ, T, S0  as defined use R to compute the mean m of X := log(ST ) given by

m  <-  log(S_0)+(mu-sigma^2/2)T . [5 marks]