(1)  (Past Exam 2018.  Question B.3) In our economy there are three dates t = 0, 1, 2 and a single, all-purpose good at each date.  There is a continuum of ex-ante identical agents of measure 1. Each has an endowment of one unit of the good at time t = 0 and nothing at dates t = 1, 2. The agent will consume either at date 1 or at date 2 but not in both. In order to provide for future consumption, he can invest in two assets, a short asset and a long asset. The short asset produces one unit of the good at date t + 1 for every unit invested at date t = 0, 1. The long asset produces R = 1.2 units of the good at date 2 for every unit invested at date 0 and produces nothing at date 1.

At date 0 each agent is uncertain about his preferences over the timing of consumption.  In particular there are two types of agents: early consumers and late consumers. Early consumers only value consumption at date 1 and late consumers only value it at date 2. There are two states of nature, denoted by s = L, H . The probability of being an early consumer is different in the two states. At time 0, an agent expects to be an early consumer with probability λs and a late consumer with probability 1 − λs .  Let λL  = 0.04, λH  = 0.06 and Pr(λL ) = 0.9 and Pr(λH ) = 0.1  (in other words, state L occurs with probability 0.9 and state H with probability 0.1).  Of course, the state of nature becomes observable at time 1. Moreover, let the agents’ preferences be represented by the logarithmic utility function: u(c) = ln c.

Suppose that the agents can invest in the two assets at time 0 and can trade the long asset at time 1, i.e., after they learn the state of the world and whether they are early or late consumers.

a) State the agent’s problem and the first order condition (FOC), assuming the problem has an interior solution.  [You only have to write the FOC, not solve it.]

b) Suppose in equilibrium both prices are cash-in-the-market: what is their expression? What is an index of price volatility? And if they are not both cash-in-the-market, how do your answers change?  [You only need to write the expressions, not derive the exact prices.]

c) Explain why cash-in-the-market prices do not reflect the asset fundamental value and in which sense low liquidity determines high volatility.

d) Suppose that the agents are risk neutral.   State the agent’s problem.   Explain how to determine the optimal portfolio in equilibrium.  [You do not need to compute the portfolio, just explain the condition to derive it.]

e) If agents are risk neutral, do you expect higher or lower volatility compared to the case of a logarithmic utility function: u(c) = ln c? [You do not need to compute the price volatility, but give a clear explanation.]

(2) Let’s peek at what we will see next week. The competitive bank’s problem when the aggregate liquidity  (λ) is uncertain!   A competitive bank designs a deposit contract and decides an investment portfolio for all consumers in this region, given an aggregate liquidity uncertainty:

late

1 − λL = 0.75

1 − λH  = 0.25