Section A

Answer all three parts of question 1 (40 marks in total)

1. (a) The probability density function for a random variable X is given by

''' a,   0 ≤ x < 1 ;

'

fx (x) =〈 b,    1 ≤ x < 2 ;

'

'

''( 0,   otherwise.

i. You are given that E(X) = 5/6. Find a and b.                                 [6 marks]

ii.  Find the cumulative distribution function (CDF) of X .                     [5 marks]

iii.  Find P (|X − 1| > 0.5).                                                                    [4 marks]

(b)  Let W  =  ∑ Xi , where the Xi’s are independent and identically distributed Bernoulli random variables with probability of success p. The random variable N has a Binomial distribution with parameter n and probability of success p, and is independent of the Xi’s.

i. Work out the moment generating function of W .   You can use standard formulae for random sums, as long as you can state them clearly.

.                                                                                                     [9 marks]

ii. State the probability mass function of W .                                       [3 marks]

(c) At a bus stop, there are two buses available (bus numbers 1 and 2). For i = 1, 2, the waiting time until bus i arrives is denoted by Ti , with T1   independent of T2 , and Ti  has density function

fTi(t) = λi exp( −λi t),    t > 0.

You are waiting for either bus 1 or 2 to arrive. Let W denote the waiting time until you can get on a bus.

i.  Explain briefly why W = min(T1 , T2 ).                                         [2 marks]

ii.  Show that E(W)  ≤ 1/ max(λ1 , λ2 ).  (Hint: You need to work out E(T1 ) and E(T2 ) first.)                   [5 marks]

iii. Work out the probability density function of W .  (Hint:  Find P (W  > w) first for w > 0.)                       [6 marks]

Section B

Answer all three questions in this section (60 marks in total)

2.  Let X be a Chi-squared random variable with density function

fx (x) = exp ( − ),    x > 0.

Suppose Y is independent of, and has the same distribution as, X .

(a)  Let Z = ^X . Show that the density function of Z is given by

fz (z) = 2a exp ( − ) ,    z > 0.

Hence state the value of a.                                                             [5 marks]

(b)  Let V = X + Y and W = X/Y . Show that the joint density of V and W is

given by

(c) Show that V

fv,w (v, w) = e−u/2,    v, w > 0. [9 marks]

and W are independent. State the distribution of V .  [6 marks]

3.  Consider throws of a biased coin with probability p of showing a head and q = 1 −p

of showing a tail. Assume that throws are independent of each other, and let X denote the number of throws until you obtain a head.

(a) Write down the probability mass function of X .                                [3 marks]

(b)  Find the probability of observing an even number of tails before the first head (0 is counted as even).                  [4 marks]

(c)  Now consider the following game. In each round you throw the biased coin until you get a head, which is the end of the round.  If the number of tails before the head is odd, the game ends. If it is even, you start another round. Let N denote the total number of rounds you play.

i.  Show that the probability mass function of N is given by

pN (n) = Qn − 1 P,    n = 1, 2, . . . ,

where Q and P have to be specified in terms of p and q .          [5 marks]

ii.  Let Yi  denote the total number of throws required to obtain the ith head

(after obtaining the (i − 1)th head), i = 1, . . . , N .

Let W be the total number of throws when the game ends. Write W in

terms of the Yi’s.                                                                           [2 marks]

iii.  If E(Yi ) = µ for i = 1, . . . , N − 1 and E(YN ) = γ, write E(W) in terms of

4.  Suppose there are N multiple-choice questions in an examination. Each question has 4 choices. You have a probability of 0.6 of knowing the correct answer to a particular question. If you do not know the answer, you pick one at random. Your answer to different questions are independent of each other.

(a)  For a particular question, find the probability that you answer it correctly.

.                     [3 marks]

(b)  Suppose N = 3. Given that you have answered all questions correctly, what is the probability that you only know the answer to exactly two questions?

.                         [5 marks]

(c) The time T to answer a particular question has the following density function: 

fT (t) =〈' λ exp(−λt),    '( 4λ exp(−4λt),

if you know the answer;

otherwise.

i.  Find E(T). You can use the mean of an exponential distribution without proof, but you need to state it clearly.                                                         .               [5 marks]

ii.  Let Ti  be the time to answer the ith question. The Ti’s are independent of each other and identically distributed to T .

Let W be the total time to answer all questions. Find E(W) and Var(W) if you are given that Var(T) = 19/(25λ2 ), E(N) = Var(N) = 20.            [7 marks]