1.  Consider a Cram´er-Lundberg capital process (Ut )t≥0  with initial capital u ≥ 0, premium rate c = 2, claim intensity λ = 1 and iid claim sizes X1 ,X2 , . . . with common pdf given by

f(x) = {α + (1 − α)x)e−x

Here α ∈ (0, 1) is a parameter.

if x > 0

if x ≤ 0.

(a) Define the constants (depending on α):

θ 1  = −  − ^9 − 8α   and   θ2  = −  + ^9 − 8α .

Show that the survival probability is given by

3  +‘1 − , θ 1  − α            3  +‘1 − , θ2  − α           for all u ≥ 0.

θ2  − θ 1                                                 θ 1  − θ2

Hint: make good use of the fact that the formula for φ is given to minimise your computational work! [12 marks]

(b)  Clearly φ depends in a rather complicated way on the parameter α, and it would be rather

tedious to find out how φ changes if α changes by analysing the expression in part (a) directly (e.g.  differentiating it with respect to α).  However we can try to say something about this indirectly.

Without using the expression for φ from part (a) at all (but you can/should use the information about (Ut )t≥0 given above part (a)), provide your most compelling argument why for any u ≥ 0, φ(u) increases if α increases. [3 marks]

2. Suppose that (Ut )t≥0  is a Cram´er-Lundberg capital process with initial capital u ≥ 0, premium rate c > 0, claim intensity λ > 0 and X1 ,X2 , . . . a sequence of iid strictly positive random variables modelling the claim sizes.

As we know from the course, if Lundberg’s coefficient R > 0 exists for this process, then we have the beautiful Lundberg inequality, which provides us with an upperbound on the ruin probability. However it is not always possible to find an explicit expression for R. Computer software could still be used to approximate R in such cases, but alternatively we can also do a bit of mathematical analysis to figure out what we can say about the value of R.

(a)  Suppose that we know that R > 0 exists for (Ut )t≥0 . Suppose furthermore that the claim sizes

have finite variance (which implies that both the first and second moment of the claim sizes are finite). Prove that we have the following upperbound:

R ≤ 2(c − λE[X1])

Hint: use the definition of R, and recall the power series of the exponential, namely

xk

k≥0               [6 marks]

(b)  Suppose now that the claim sizes are such that E[X1] < ∞ but E[X1(2)] = ∞ . The upper bound

in part (a) seems to imply that in this situation the Lundberg coefficient R is bounded above by 0, however by definition if R exists then it is strictly positive. This is a heuristic argument which seems to suggest that R cannot exist in this situation (but a heuristic argument is not

an actual proof). Prove that indeed R does not exist in this situation.

Hint: some of the same arguments as in part (a) may still be useful. [4 marks]