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MATH3506 Problem Sheet 5

1.  Construct cobweb maps and analyse the linear stability for (a)

(1 + r)Nt

1 + rNtb

(b)

(1 + r)Nt

Nt+1  =

where r, b > 0.  Discuss the global qualitative behaviour of the solutions for different values of r, b.

2. Verify that there exists an exact solution to the discrete logistic equation

Nt+1  = rNt (1 - Nt )

of the form Nt  = sin2 (αt ), for a certain value of r and an appropriately chosen α  0. What can you say of the asymptotic behaviour of this system?

3. Let f : R → R be a smooth function. Consider the model Nt+1  = f(Nt ), with N0  > 0.

(a) What condition(s) on f ensures that Nt  > 0 for all t = 0, 1, 2, . . ..

(b) What condition(s) on f ensures that Nt  remains bounded for all t = 0, 1, 2, . . ..

(c)  Suppose that f 2 0, f(N) → 0 as N → o and f(N) = N has three solutions N = 0, N1 , N2  where 0 < N1  < N2 .  Show that if Nt  falls below a certain value, which you should find, then Nt  → 0 as t → o. Find also an upper bound for the population.