Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH3506 Problem Sheet 4

(a) Find the unique steady and determine its linear stability, plotting the phase plane for the system linearised about the steady state.

(b) By using polar coordinates solve the equations explicitly and plot the exact solu- tion. Comment on your results.

2. A predator prey model with prey being captured at a rate φ(N, P) = γPN/(A + N), where γ, A > 0 are constants, is said to be a Holling type II response, and is thought to be appropriate to invertebrate prey which are not capable of effectively hiding from their predators. Sketch the graph of φ(N, P) as a function of N for fixed P . How is φ related to the feed rate per predator ω?  Assuming that reproduction of the predator is not proportional to φ(N, P) but just to N we get the system:

   =   N {ρ ┌ 1 − ┐ − }

dP

=   P {σN − µ}

dt

where 0 < σ, µ, K, A, γ .  How does this model (in ecological terms) differ from that studied in lectures? Draw a graph showing the nullclines of this system, find the steady states and analyse the stability of the positive quadrant equilibrium. Are periodic orbits possible?

3.  Consider the predator-prey model:

N˙ = N (a − bP),  P˙ = P (−d + cN),  a, b, c, d > 0.

As we showed in lectures, every solution (N (t), P (t)) with N (0) > 0, P (0) > 0 (simul- taneously) is periodic. Suppose that (N (t), P (t)) is a solution of period T. Show that the average

1     T                           d

T   〇                            c ,

and find a similar expression for the average of P around the same periodic solution.