1.  Consider the daily IBM log daily returns (Tsay) over July 1962 - Septem- ber 1997 with a total of 9190 observations. We use two volatility models to calculate VaR of 1-day horizon at r = 9190 for a long position of $10m.

(a)  Case 1: Assume that εt  is standard normal. The fitted model is

pt  = 0.00066 - 0.0247pt _2 + at ,  at  = 7t εt

7t(2)  = 0.00000389 + 0.0799at(2)_ 1 + 0.90737t(2)_ 1

From the data we have p9188   = 0.0153, p9189   =  -0.0021, p9190   = -0.0128 and 79(2)190   = 0.000349.   Then, derive VaR at 5% and  1% quantiles.  (5 marks)

(b)  Case 2:  Assume that εt  is a t-distribution with 5 dof.  The fitted

model is

pt  = 0.0003 - 0.0335pt _2 + at ,  at  = 7t εt

7t(2)  = 0.000003 + 0.0559at(2)_ 1 + 0.9357t(2)_ 1

Then, derive VaR at 5% and 1% quantiles.  (5 marks)

(c)  Describe the RiskMetrics approach to forecasting the daily value- at-risk (VaR) at 1 and 10 day horizons.  Then, briefly describe the potential weakness of this approach.  (7 marks)

(d) Inconsistency of VaR (see Frey and McNeil, 2002): Consider a port- folio of m = 50 defaultable corporate bonds.  Assume defaults are independent, with common probability 2%. Face value is 100 which is repaid at T = r + ∆r if there is no default; otherwise there is no payment. The current price (T = r) is 95. The loss for the ith bond is the random variable given by

Li  = -(100(1 - yi ) - 95) = 100yi - 5

where  yi   =  1  if default occurs  and  0 otherwise.   Then,  Li ’s  are a sequence of iid random variables with Pr(Li   =  -5) = 0.98 and Pr(Li  = 95) = 0.02. Portfolio A is fully concentrated and comprises 100 units of Bond 1 with total price 9500. Portfolio B is fully diver- sified and comprises 2 units of each of the 50 bonds, again with total price 9500.  Show that VaR is not a coherent risk measure in this example.  (6 marks)

(e)  Develop an alternative consistent measure which satisfies the subad- ditivity condition.  (6 marks)

2.  Agent believes that asset A will rise more than rest of market, and goes long (buys one unit) at time r - 1 at (log) price 夕A,t _ 1 . To protect against a fall, agent sells b units of asset B short at time r - 1 at price 夕B,t _ 1  for delivery at time, r. To satisfy the short sale contract the agent must buy βt _ 1  units of asset B at price, 夕B,t . Then, an agent gets a return equal to

∆夕A,t - βt _ 1 ∆夕B,t

(a)  Derive the time-varying optimal hedge ratio.  (4 marks)

(b)  Describe four modelling approached and discuss their empirical per- formance in terms of the hedging variance reduction and the mini- mum capital requirement associated with VaR. (8 marks)

(c) We now wish to combine the bivariate error correction model with the bivariate DCC-GARCH model. Derive this joint modelling approach in  detail,  and  discuss why this  approach  is  likely to  improve the empirical performance.  (8 marks)

3.  Consider the following panel data model:

yit  = βzit + 7zi + εit , i = 1, ..., N; r = 1, ..., T,

εit  = ai + tit

where yit  is a scalar dependent variable, zit  a scalar time-varying strictly exogenous regressor, zi  is a scalar time-invariant regressor, ai ’s are indi- vidual specific effects and tit ’s are idiosyncratic disturbances distributed independently over both cross-sections and time periods with zero mean and finite variance 7u(2) . Here we assume that ai ’s are distributed with zero mean and finite variance 7α(2), but also distributed independently of tit  and that N is sufficiently large and T is fixed.

(a)  Assume that zit  and zi  are both uncorrelated with ai .  Then, show that both the OLS estimator and the random effects estimators of β  and 7  are  consistent but the random effects estimator is more efficient.  (9 marks)

(b) We now assume that ai ’s are correlated with zit  and zi . What hap- pens to the OLS and the random effects estimators of β and 7?  (7 marks)

(c)  Decompose zit  = (z1,it, z2,it) and zi  = (z1i, z2i).  Assume that ai ’s are uncorrelated with z1,it  and z1i, but correlated with z2,it  and z2i . Then, show that the Fixed Effects estimator provides consistent es- timator of β’s only. Then, derive the Hausman-Taylor IV estimation techniques for consistently estimating 71  and 72 .  (9 marks)

4.  Short essay questions:

(a)  The empirical performance of parametric, nonparametric and semi- parametric VaR models in terms of Backtestings.  (13 marks)