STOCHASTIC METHODS IN FINANCE 2022–23

STAT0013

Exercises 6 - Stochastic Calculus

1. Find the stochastic differential equation (SDE) satisfied by the square of a stock price that follows geometric Brownian motion. What is this process?

2.   (a)  Suppose that g(t) is a deterministic differentiable function for t > 0, with g(0) = 0. Show that a solution to the ordinary differential equation

dx(t) = ax(t)dt + bx(t)dg(t)

with boundary condition x(0) = x0   0 is

x(t) = x0 eat+bg(t) .

Hint: Write dg(t) as g\ (t)dt and then use the variable separation technique and take integrals on both sides of the equation.

(b)  Show that the process Xt  = xeat+bWt , where Wt is standard Brow- nian motion, satisfies the SDE

dXt  = (a + )Xt dt + bXt dWt

with initial condition X0  = x.

3.  Show that the Itˆo process Xt  = eWte−t/2  (with Wt a standard Brownian

motion) satisfies the stochastic differential equation

dXt  = Xt dWt .

4. A zero-coupon government bond pays £100 at time T, and has price denoted by Bt .  In the course so far we have assumed that the risk- free rate is constant and deterministic. In more advanced models, the risk-free rate can be modelled itself as a stochastic process. It has been suggested that the short-term interest rate, rt , will not be constant over time but will in fact follow the stochastic process