Time allowance

You have 2 hours to complete this examination, plus an Upload Window of 20 minutes. The Upload Window is for uploading, completing the Cover Sheet and correcting any minor mistakes and should not be used for additional writing time.

If you have been granted SoRA extra time and/ or rest breaks, your individual examination duration will be extended pro-rata and you will also have the 20-minute Upload Window added to your indi- vidual duration.

All work must be submitted anonymously in a PDF file and you should follow the instructions for submitting an online examination in the AssessmentUCL Guidance for Students.

If you miss the submission deadline, you will not be able to submit your work via AssessmentUCL and you will not be permitted to submit the work via email or any other channel. If you are unable to submit your work due to technical difficulties which are substantial and beyond your control, you should apply for a Deferral via the AssessmentUCL Query Form.

Page limit:  15 pages.

Your answers, excluding the Cover Sheet, should not exceed this page limit. Please note that a page is one side of an A4 sheet with a minimum margin of 2 cm from the top, bottom, left and right borders of the page. The submission can be handwritten or typed, but the font size should be no smaller than the equivalent to an 11pt font size.  This page limit is generous to accommodate students with large handwriting.  We expect most of the submissions to be significantly shorter than the set page limit. If you exceed the maximum number of pages, the mark will be reduced by 10 percentage points, but the penalized mark will not be reduced below the pass mark and marks already at or below the pass mark will not be reduced.

Answer 2 questions from Part A and 2 questions from Part B .

Questions in Part A  carry 25 per cent of the total mark each and questions in Part B carry 25 per cent of the total mark each.

In cases where a student answers more questions than requested by the examination rubric, the policy of the Economics Department is that the student’s first set of answers up to the required number will be the ones that count (not the best answers). All remaining answers will be ignored.

If you have a query about the examination paper, instructions or rubric, you should complete an As- sessmentUCL Query Form. Please note that you will not receive a response during your examination.

By submitting this assessment, you are confirming that you have not violated UCL’s Assessment Regulations relating to Academic Misconduct contained in Section 9 of Chapter 6 of the Academic Manual.

PART A

Answer 2 questions from this section.

A1  Consider an economy with three dates 0, 1, 2. There is a continuum of ex-ante identical agents of

measure 1. Each agent has an endowment of one unit of the good at date 0 and nothing at dates 1, 2.  At date 0 each agent is uncertain about his preferences over the timing of consumption. With probability 1/3 he expects to be an early consumer, who only values consumption at date 1.   With the complementary probability he expects to be a late consumer, who only values consumption at date 2.   Note that he never values consumption at date 0.   Each agent has preferences represented by

u(c) = -  1          i.e., relative risk aversion σ = 2.

Suppose there is a bank operating in a competitive sector (e.g., their payoffs are zero because of free entry). At date 0 the agents deposit their endowments in the bank, and the bank has its own endowment of d = 0.5 unit of the good at date 0. The bank can invest the total endowment 1 + d in two assets, a short asset and a long asset. The short asset produces one unit of the good at date t + 1 for every unit invested at date t = 0, 1. The long asset produces nothing at date 1 and produces R = 1.44 units of the good at date 2 for every unit invested at date 0. If instead it is liquipatep at date 1, it produces nothing r = 0.

At date 0 the bank invests the amount x in the long asset and the amount y in the short asset. Short-selling is not allowed. The portfolio (x, y) must satisfy the budget constraint x +y ≤ 1+d. Then, the bank provides a deposit contract (cl, c2 ):  cl  and c2  denote the amounts of the good that a consumer gets if he withdraws the deposit at date 1 and at date 2, respectively.  Note that he will receive either cl  or c2  but not both.

(a) What is the bank’s efficient solution (when late consumers do not withdraw deposits at

date 1)?  Find the feasibility constraints when the competitive bank maximizes the total utility of all consumers.

(b)  Can a (sunspot) bank run occur, under the bank’s efficient solution in part (a)?  Explain

your intuition in detail.

(c)  Suppose that the bank wants to completely avoid a possibility of the bank run.  What is the bank’s optimization problem? Write down the bank’s objective function and feasibility constraints.

(d) Illustrate the feasible set of problems in part (c) in a graph. Find all binding constraints by using your graph and solve the optimal investment plan (x, y) and deposit contract (cl, c2 ) when the bank avoids the bank run.

(e) How does the solution in part  (d) differ from the bank’s efficient solution in part  (a)?

Discuss the role of the bank’s own endowment d in terms of the stability of the banking system and the default risk.  [You do not need to solve the optimization problem.]

A2  Consider an economy with three dates 0, 1, 2. There is a continuum of ex-ante identical agents of

measure 1. Each agent has an endowment of one unit of the good at date 0 and nothing at dates 1, 2.  At date 0 each agent is uncertain about his preferences over the timing of consumption. With probability 1/2 he expects to be an early consumer, who only values consumption at date 1.   With the complementary probability he expects to be a late consumer, who only values consumption at date 2.   Note that he never values consumption at date 0.   Each agent has preferences represented by

u(c) = 2^c,         i.e., relative risk aversion σ = 0.5.

Each agent can invest in two assets, a short asset and a long asset. The short asset produces one unit of the good at date t + 1 for every unit invested at date t = 0, 1. The long asset produces nothing at date 1 and produces R = 1.5 units of the good at date 2 for every unit invested at date 0.  If instead it is liquipatep at date 1, it produces nothing r = 0.  At date 0 each agent invests the amount x in the long asset and the amount y in the short asset. Short-selling is not allowed. Let cl  denote the amount consumed at date 1 by an early consumer and c2  denote the amount consumed by a late consumer at date 2.

Suppose that a financial market opens at date 1 after the agents learn their types—early or late consumer—and before they get return from the short asset.  All agents participate in the financial market and exchange the short and long assets.

(a)  Denote the price of the long asset at time 1 by P , i.e., one unit of the long asset is ex-

changed by P unit of the short asset. Find the feasibility constraints of each consumer who maximizes his expected utility at t = 0 and participates in the asset market at date 1.

(b) Find the equilibrium price P of the long asset at date 1. Write down the consumption plan (cl, c2 ) and the investment portfolio (x, y) in equilibrium. Explain carefully why this is an equilibrium.

We consider three different settings below.  In parts (c), (d), and (e), write down equilibrium conditions, which consist of each agent’s optimization problem and the market clearing condition. Discuss how equilibrium price in each part (c)-(e) change, relative to equilibrium price in part (b).  [You do not need to solve the optimization problem.]

For parts  (c) and  (d), suppose there are two groups of agents:  a part of agents of measure πA = 0.5 (called group A) expects to be an early consumer with probability λA = 1/3 and a late consumer with probability 2/3. The other agents of measure πB  = 0.5 (called group B) expect to be an early consumer with probability λB  = 2/3 and a late consumer with probability 1/3. Their preference of the timing of consumption is revealed at date 1, before the financial market opens.

(c)  Two asset markets open at date 1, one for group A and one for group B .  At date 0 each agent knows which group he belongs to—A or B. At date 1 he participates in the asset market that corresponds to his group. Each asset market determines equilibrium price, PA and PB, separately.

(d)  Only one asset market opens for all agents at date 1.  At date 0 each agent is uncertain about which group he belongs to—A or B—but he knows the probability πA  and πB .  At date 1 each agent knows his group in addition to his identity—early or late—before the asset market opens.  The asset market determines equilibrium price P that is common to all agents.

(e)  Suppose there are two, equally likely, states of nature A and B, instead of two groups of

agents A and B . All agents are ex ante identical. In state A, each agent expects to be an early consumer with probability λA  = 1/3 and a late consumer with probability 2/3.  In state B, each agent expects to be an early consumer with probability λB  = 2/3 and a late consumer with probability 1/3. The state of nature is realized at date 1, and then, a single asset market opens for all agents at date 1.

A3  Consider an economy with three dates 0, 1, 2.  There are four regions in the economy.  In each

region there is a competitive banking sector and a continuum of ex-ante identical “local” agents of measure 1 (agents cannot move to a different region).  Each agent has an endowment of one unit of the good at date 0 and nothing at dates 1, 2. In order to provide for future consumption, each agent deposits his endowment in the representative bank of his region. The bank can invest the deposit in two assets, a short asset and a long asset.  The short asset produces one unit of the good at date t + 1 for every unit invested at date t = 0, 1. The long asset produces R = 1.2 units of the good at date 2 for every unit invested at date 0. If instead it is liquipatep at date 1, it produces r = 0.5.

At date 0, each agent is uncertain about his preferences over the timing of consumption.  The probability of being an early or late consumer depends on the state of nature that occurs. There are two, equally likely, states of nature, denoted by Sl  and S2, one of which is realized at t = 1. The following table indicates the proportion of early consumers in each region depending on the state of nature (the letters A, B , C , D indicate the four regions as well as the four banks).

         A      B      C      D

S1     0.7    0.3    0.7    0.3

S2    0.3    0.7    0.3    0.7

Note that the average proportion of early (and late) consumers in the entire economy is 0 .5 in either state of nature. Each agent has preferences represented by

u(c) = log(c),         i.e., relative risk aversion σ = 1.

Suppose that the interbank network is circle-shaped: At date 0, banks A and C can “purchase” the deposit contract issued by banks B and D and banks B and D can purchase the deposit contract issued by banks A and C .  However, banks A and C cannot interact with each other. Similarly, banks B and D cannot interact with each other.

A new regulation is introduced. Under this new regulation, banks must pay a fee d = 0.2 to the issuer of interbank deposits at date 0 when they purchase a deposit contract from other banks. At date 0 a consumer deposits one unit of the good for the deposit contract (cl, c2 ), but a bank must deposit 1 + d = 1.2 unit of the good for the same contract (cl, c2 ).

(a) Find the efficient solution (optimal allocation of risk) in the case of a benevolent social

planner who maximizes the sum of the agents’ expected utility in all regions.

(b)  Given the circle-shaped interbank network and the purchasing fee of interbank deposits

described above, write down the amounts of interbank deposits that each bank holds in other regions.

(c)  Describe the role of interbank deposits in achieving the optimal allocation at date 1 and 2.  How does the fee of purchasing interbank deposit d = 0.2 change the efficiency of the banking network?

In parts (d) and (e) below, we consider the purchasing fee of interbank deposits as in parts (b)- (c). Suppose an unexpected state Se  is realized. In state Se, the proportion of early consumers in each region is as follows:

A      B      C      D

Se      0.7    0.5    0.5    0.5

(d) Explain why an (essential) bank run can occur in region A.

(e) How does the bank run in region A affect banks B , C, and D?  In particular, would an

essential bank run occur in the other regions? Explain your answer in detail.

PART B

Answer 2 questions from this section.

B 1  Consider the one-period Glosten-Milgrom model, where the final value of the security, v, can be

vH , vL , or vM  = (vH +vL )/2, with probabilities λ/2, λ/2 and 1 - λ, respectively. Market makers are competitive and risk-neutral, and do not know v .  In each period, a single trader comes to the market: with probability 1 - π, he is a noise trader, who buys or sells 1 unit with probability 1/2 each; with probability π he is an informed trader, who knows security’s true value and so he buys when v = vH  and he sells when v = vL .

(a)  Compute the equilibrium bid and ask prices.

(b)  Derive the bid-ask spread.

(c) How does the spread change when λ increases? Intuitively, why?

B 2  Consider the one-period Glosten-Milgrom model, where the security’s true value v can be high

(vH ) or low (vL ) with probability 1/2 each.  Market makers are competitive and risk neutral, and do not know v .  A single trader comes to the market: with probability 1 - π he is a noise trader, who buys or sells one unit with probability 1/2 each; with probability π he is an informed trader, who knows the security’s true value.

(a)  Compute the equilibrium bid and ask prices set by risk neutral competitve market makers.

(b)  Compute the profits of the informed trader conditional on him trading, i.e. when he either

buys or sells the security.

(c)  Compute now the ex-ante expected profits of the informed trader.  [Hint:  conditional on being in the market, the informed trader gets vH - a with probability 1/2 and b - vL  with the same probability. But he comes to the market only with probability π .] How do ex-ante expected profits vary as a function of π? Intuitively, why?

(d)  Suppose now that, before trading, the informed trader could credibly announce that he will be present in the market with a given probability:  namely, that he can pre-commit to a certain value of π . Find the value of π that maximizes his ex-ante expected profits.

B 3  Consider the multi-period Glosten-Milgrom model, where at time t the probability that market makers assign to the value of the security, v, being vH  is θt  and that of it being vL  is 1 - θt . Market makers are competitive and risk-neutral, and do not know v .  In each period, a single trader comes to the market: with probability 1 - π, he is a noise trader, who buys or sells 1 unit with probability 1/2 each; with probability π he is an informed trader, who knows security’s true value and so he buys when v = vH  and he sells when v = vL .  Notice that in this model we can measure the volatility of the fundamental value by vH - vL , i.e. by the range of the two possible values that the final value of the security can take.

Recall that, in this model, upon receiving a buy order at time t, the dealers’ updated expectation of the security’s value is the weighted average of vH and vL , where θ and 1 - θ are the updated probability weights:

µt(＋)  = θvH + (1 - θ)vL ,

while upon receiving a sell order at time t, the dealers’ updated expectation of the security’s value is the weighted average of vH  and vL , where θ and 1 - θ are the updated probability weights:

µt(−) = θvH + (1 - θ)vL ,

where

θ   =          (1 + π)       θt − 1 ,

θ   =                                         θt − 1 .

Hence the transaction price can be written as

pt = µt = θtvH + (1 - θt)vL ,

where θt  = θ upon receiving a buy order at time t, and θt  = θ upon receiving a sell order at time t.

(a) Using only these expressions, compute an expression for the equilibrium bid-ask spread at any time t, and show how it varies as a function of fundamental volatility vH - vL . What is the intuitive explanation for your finding?

(b) Again using only these expressions, compute an expression for the squared pricing error at time t, first under the assumption that the true value of the security is high, i.e.  ╱pt - vH、2 , and then under the opposite assumption that the true value of the security is low, i.e. ╱pt - vL、2 .   In both cases,  show how the squared pricing error varies as a function of fundamental volatility vH  - vL , for given θt .  What is the implication of your finding for the speed of price discovery? What is its intuitive explanation?

(c)  Go back to the two expressions ╱pt - vH、2 and ╱pt - vL、2 that you have derived under point b, and recall that the prior probability of the security being high-valued or low valued is 1/2, i.e.  θ0  = 1/2.  If the true value of the security is vH , how will θt  and the squared pricing error ╱pt - vH、2  behave over time?  If instead the true value of the security is vL , how will θt  and the squared pricing error ╱pt - vL、2  behave over time?