Directions.   These  questions  are  motivated  by  the  class  discussion.   Throughout the statements of he questions we will use the notation and assumptions established in the class meetings .

1.  Let f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y) be a complex-valued function of two real-

variables x, y, and assume that f has a domain of definition which includes an open set D 仁 R2 . Let z = x + iy and  = x  iy . The Cauchy-Riemann equations can be written in two ways.

a)

∂u      ∂v              ∂u         ∂v

∂x     ∂y            ∂y        ∂x .

b)

∂f

= 0.

∂ 

Prove that the two formulations of the Cauchy-Riemann equations are equivalent.

2.  Let u = u(x, y) and v  = v(x, y) be two continuous functions which are defined fo4 (x, y) in an open domain D 仁 R2  such that (x, y) !f (u, v) is a bijection. Recall that the Jacobian matrix J (u, v; x, y) is defined by

J (u, v; x, y) :=  = (        ) .

a)  Compute the J (r, θ; x, y) when transforming from Cartesian coordi- nates (x, y) to polar coordinates (r, θ).

b)  Compute the J (x, y; r, θ) when transforming from polar coordinates (r, θ) Cartesian coordinates (x, y).

c)  Compute the matrix product J (x, y; r, θ)J (r, θ; x, y).

3.  Let f (z) = u(x, y) + iv(x, y) be a holomorphic function which is defined for z in an open domain in R2 .  Use the Cauchy-Riemann equations to prove the following. At every point z 2 D where ∂f/∂z  0, one can write

J (u, v; x, y) = A · ( s(o)i(s)nθθ(z)z     c(s)os(in) θ(θ)z(z) )

for some real number θz  and positive real number A. What happens if ∂f ∂z tends to zero?

4.  Let M := (c(a)   d(b)) be any matrix entries a, b, c, d 2 C such that det(M)

0. Define the function fM (z) by

az + b

fM (z) =

1

Similarly, define fN (z) for N := (γ(α)   δ(β) ). Prove that

fN (fM (z)) = fNM (z).

In other words, the composition of the functions fN  and fM  is equal to the function associated to the matrix product NM .

5.  Assume that M := (c(a)   d(b) ) has real entries a, b, c, d and det(M)  0. Let H := {z = x + iy 2 C : y > 0}.  Prove that if det(M) > 0 then fM (z) is a bijective holomorphic map from H to itself.

6.  Consider the differential form

dz       √dx2  + dy2

=

y               y

on H. Let fM (z) be as defined in question 5. Show that

df           dz       √dx2  + dy2

=                      =

Im(f (z))       y               y

where Im(f (z)) denotes the imaginary part of f (z).  In other words, the differential form |dz|/Im(z) is invariant under transformations of the form z '! fM (z).

7.  Let x0  and x1  be real numbers with x0  < x1 . Consider the function

z  x1

z  x0 .

Prove that g maps H to itself.  Let Cx0 ,x1    be the Euclidean circle whose diameter connects x0  to x1  on R. Prove that g maps Cx0 ,x1    to the vertical line Re(z) = x = 0.

8.  Let fM (z) be as in question 6.  Assume that fM (i) = i.  Assuming that det(M) = 1, prove there is a θ such that

M = ( s(o)i(s)nθθ   c(s)os(in)θ(θ) ) .

9.  Let D be the unit disc, meaning D := {z 2 Z||z| < 1}. For any a 2 D and θ 2 [0, 2π), let

gθ,a (z) = eiθ  z  a

z  1 .

Prove that gθ,a is a holomorphic bijection from D to itself with gθ,a (a) = 0.

10.  Using the Schwarz lemma (page 94 of the textbook) to prove the following. If h is any bijective holomorphic map of D to itself, then h = gθ,a  for some θ and a.

11.  With the notation as in problem 9, show that any bijective holomorphic map h of D to itself for which h(0) = 0, then h = gθ,0  for some θ 2 [0, 2π).

12.  Prove that the function

z  i

is a holomorphic bijection from the upper half plane H to the unit disc D.

13.  With the notation as above, prove the following. Any holomorphic bijection from the upper half plane H to itself is of the form F −1  。gθ,a 。F .  If we write fM  = F −1  。gθ,a 。F for some matrix M , can you parameterize M?

14.  With the notation as above, show that the area differential

dxdy

y2

on H is invariant under z '! fM (z).

15.  From pre-calculus (or earlier), one learns that one can write a circle in the plane in the form

(x  x0 )2  + (y  y0 )2  = r2 .

a.  Show that one can write the circle using the complex variable z as z  + c0 z + c1  + d = 0, for certain constants c0 , c1  and d.

b.  Using (a), show that the inversion w '!    1/z maps “circles” to “cir- cles” includes Euclidean lines.

c.  Write

az + b                 B   

cz + d            cz + d

for constants A and B .  From this, discuss why any fractional linear transformation is the composition of a translation, an inversion, and then another translation.

d.  Combine the above discussion to show that any fractional linear trans- formation maps  “circles” to  “circles” .

16.  Let z0 , z1 , z2  and w0 , w1 , w2  be two triples of distinct points.  Consider the function w = w(z) defined by

(w  w0 )(w1   w2 )       (z  z0 )(z1   z2 )

(w  w2 )(w1    w0 )       (z  z2 )(z1    z0 ) .

Argue that w = w(z) can be written as a fractional linear transformation which maps zj  to wj  for j = 1, 2, 3.

17.  Let w = w(z) be a fractional linear transformation which fixes 3 distinct points. Then prove that w is the identity transformation.

18.  Let z, z0 , z1 , z2  be four points in the plane. Define

(z — z0 )(z1  — z2 )

(z : z0 , z1 , z2 ) :=

Show that for any M , as above, one has that

(fM (z); fM (z0 ), fM (z1 ), fM (z2 )) = (z : z0 , z1 , z2 ).

19.  Show that four distinct points z, z0 , z1 , z2   in the plane lie on a circle, or straight line, if and only if (z : z0 , z1 , z2 ) is real.

20.  Let M :=  (c(a)   d(b) ) have real entries a, b, c, d and det(M)  0.  Show that if Tr(M) > 2, where Tr(M) is the trace of M , then fM (z) has two fixed points on the real axis when considering fM (z) as a holomorphic bijection from H to itself.

21.  This question is a continuation of question 18. Let x0  and x1 , with x0  < x1 be the fixed points of fM (z). As in question 7, consider the function

z — x1

g(z) =

What can you say about the function g −1  o fM o g?  (Hint: Using question 7.)

22.  Let f be a bijective holomorphic map which sends the top-half of the unit disc to the right-half of the upper half plane with the image of the x axis mapping onto the y axis.  Discuss how you can extend f to a map of the unit disc to the upper half plane by using the Schwarz reflection principle.

23.  Describe, in as much detail as possible, the rationale behind the following statement:  The set of bijective holomorphic maps of the unit disc D to itself can be parameterized by a value of θ 2 [0, 2π) and a value of a 2 D .

24.  Confirm the following:  The function

w = ( )2

defines a conformal map  of the upper half of the unit disc to the upper half plane .  Describe why this function does not preserve angles at z = 1 and why this does not contradict the above statement.

25.  Confirm the following: For m  2, the function w = zm  defines a conformal map  of the sector 0 < Arg(z) < π/m onto the upper half plane .

26.  Confirm the following:  The function w = log(z)  (natural log,  of course)  is a  conformal map  of the  annular region a < |z| < b with the segment along the negative real axis removed onto  a domain D .  Determine D .  (Note: By removing the segment along contained in the negative real axis, the domain is simply connected.)

27.

a.  Prove that

sinh(x)                        sinh(x/2)

x                             x/2     .

b.  Prove that for any integer n  1, we have that

x     sinh(x/2n )       n           1       

k=1

c.  Cite the appropriate convergence theorems to prove that

 =   .

d. In part (c), introduce the change of variables x = log(θ)  =   .

In particular, if θ = 2, then

log(2) =  ·  ·  · · · .

28.  Determine the values of the real variable p > 0 for which the product

∞

converges

29.  Determine the values of the real variable x for which the products  (1 + ( )n )    and    ( )

converge.

30.  Prove the following theorem. An infinite product

∞

∏ (1 + an )

n=1

converges if and only if an ! 0 and for some sufficiently large m the series

   log(1 + an )

n=m+1

converges .  Furthermore, if

L =      log(1 + an )

n=m+1

then                           ∞                              m

∏ (1 + an ) =∏ (1 + an ) · eL .

n=1                               n=1

31.  Prove the following theorem. For any complex number z with |z| ≤ 1/2, we

have  that

 |z| ≤ |Log(1 + z)| ≤  |z|,

where Log(z) denotes the principal value of the logarithm.

32.  For what values of z will the following products converge absolutely:

∞                                         ∞

∏ (1 + zn )   and    ∏ (1 + sin2 (z/n)) .

n=1                                             n=1

33.  In class it was shown that

 =  (1 — ) .

a.  Compute the logarithmic derivative of this product to obtain a series expansion for cot(πz)

b. With this series, study the coefficients of the expansion near z = 0 to

evaluate                                  ∞

  .

c.  Differentiate the series from (a) with respect to z and, as in (b), study the expansion near z = 0 to evaluate

  .

34.  Prove that

cos(πz) =  (1 — ) .

34.  Using the result from the above question, evaluate at special values of z , say z = 1/2, z = 1/6, etc., and numerical product expansions for ^2 and ^3.

35.  Define the function Γ(s) by

∞

Γ(s) = ∫ e −tts−1dt.

0

a.  Prove that the integral which defines Γ(s) is holomorphic for all s 2 C with Re(s) > 0.

b.  For any Re(s) > 0, prove that

Γ(s + 1) = sΓ(s).

c.  Using the above results, argue that Γ(s) admits a meromorphic con- tinuation to all s 2 C.

36.  Refer to the notation from above for Γ(s).

a.  Proof that the function

ζ(s) =  

is holomorphic for Re(s) > 1.

b.  Show that for any real number a > 0 and Re(s) > 0, we have that

∞

a −s =  ∫ e −atts−1dt.

0

c.  For any t > 0, show that

 e −nt =  .

d.  Prove that for any Re(s) > 1 one has that

1                                            ∞

ζ(s) = ∫ ts−1dt + ∫ ts−1dt.

0                                              1

e.  From the information above, prove that the function ζ(s) — 

extends to a holomorphic function for all s 2 C.

37.  Let S be any finite set of prime numbers, and let P denote the smallest prime number not in S. Assume that Re(s) > 1, and let

F (s) =   —  (1 — p −s) −1 .

a. If x is a real number and x > 1, prove that F (x)  0.

b.  Choose any δ > 0 and assume that Re(s)   1 + δ .  Prove there is a constant C6  such that

|F (s)| ≤ C6 P −s .

c.  Let P be the set of all prime numbers.  By quoting results from the textbook, prove that the product

∏ (1 — p −s) −1

p∈P

converges for all Re(s) > 1.

d. With these results, prove that

  =  (1 — p −s) −1

for Re(s) > 1.

38.  Prove that

∏ (1 — p −s) −1  — ∑

is holomorphic for Re(s)  > 1 and extends to a holomorphic function for Re(s) > 1/2.  (Hint: Expand the product using the geometric series expan- sion and the fundamental theorem of arithmetic.)

39.  Let x be a real number. Using the above results, show that the limit x1         —

exists.  From this, conclude that the set P has an infinite number of ele- ments, meaning there are an infinite number of prime numbers.

40.  Using that

∞

Γ(s) = ∫ e −tts−1dt,

0

prove that

π     

sin(πs) .

From this, prove that Γ(s) = 0 has no solutions.