Problem 1

Consider the vector of measurements Yi  = (yi1 . yi2 . 口口口. yini)\ taken on subject i, and assume the following model,

Yi  = Xi8 + Zi bi + ∈i .                                       (1)

where Xi  and Zi  are nonrandom ni  × p and ni  × g design or covariate ma- trices, respectively, 8 is a p–dimensional parameter of fixed effects common to all subjects, bi  is g–dimensional subject–specific  (nonrandom) parame- ter considered nuisance, and ∈i  ∼ Nni(0. g2 I) is the ni –dimensional vector representing noise or measurement error. Notice that the covariance matrix g I2   =  g I2ni    is ni  × ni   and its elements do not depend on i.   Denote by fi (yi |bi . 8 . g2 ) the density of Yi .

1.   Show that  ZYi   is sufficient for  bi ,  and obtain the conditional pdf fi (yi |Z y i . 8 . g2 ).

2.  Argue that one may try to get inference about 8 . g2  is by maximizing the conditional likelihood     fi (yi |Z y i . 8 . g2 ) but that this may not be a good idea.

3. Assume that the bi  are random, each having the same distribution o(·). Explain how to get inference about 8 . g2  and o.

4.   A simpler alternative assumes that the random effects are normally distributed in which case model (1) is referred to as linear mixed– effects model, where Xi ,  Zi , and 8 are as above, but bi   ∼ Nq (0, D), and ∈i  ∼ Nni(0. Σ) is the ni –dimensional error.  Here Σ = Σi  is ni  × ni covariance matrix whose components do not depend on i. It is assumed that the ∈i   and bi   are independent.   Obtain inference about all the

parameters, and show how to test H0  : C8 = 80  versus H0  : C8  80 .