Overleaf project

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This assignment assumes that you are familiar with the definition and properties of the dot product on Rm . In particular, an ordered pair of vectors (v1 ,v2 ) is called orthonormal if

v1  · v1  = v2  · v2  = 1

v1 ··· v2  = 0

1.  (5 points) If F : M → N is a smooth map from the manifold M to the manifold N , show that at each p ∈ M, the ranks of the pushforward

F*  : Tp M → TF(p)N

and the pullback

F*  : TF(*)(p)N → T*pM

are equal.

2.  (5 points) Let e1 ,e2   be vector fields on a 2-manifold S such that for each p  ∈ S , (e1 (p),e2 (p)) is a basis of Tp S .  Let ω 1 ,ω 2  be 1-dorms such that (ω1 (p),ω2 (p)) is the dual basis to (e1 (p),e2 (p)).  Show that there is a unique 1-form ω2(1)  such that, if we denote ω 1(2)  = −ω2(1), then

dω 1 + ω2(1) V ω 2  = 0

dω 2 + ω1(2) V ω 1  = 0

3. The sphere of radius 1 centered at the origin is

S = {(x,y,z) ∈ R3    :  f(x,y,z)) = 0} ⊂ R3 ,

where

f(v) = x2 + y2 + z2 − 1.

Recall that stereographic projection from the north pole N = (0, 0, 1) is a coordinate map

Φ : R2 → S/{N}

(u,v) '→ ( , , ) .

3.1.  (5 points) The tangent space at each v = (x,y,z) ∈ S is a linear subspace of R3 .

Find it for each v ∈ S .

3.2.  (5 points) Let (?1 ,?1 ) denote the standard basis in R2  and, at each (u,v) ∈ R2 ,

calculate Φ* ?1 , Φ* ?2 .

3.3.  (5 points) Calculate Φ* ?1  · Φ* ?1 , Φ* ?2  · Φ* ?2 , Φ* ?1  · Φ* ?2 .

3.4.  (5 points) Find an pair, not necessarily orthonormal, of vectors e1 ,e2  ∈ R2  such

that

(f1 ,f2 ) = (Φ* e1 , Φ* e2 )

is an orthonormal basis of Tp S .

3.5.  (5 points) Denote the dual basis of (?1 ,?2 ) by (du,dv). Find 1-forms ω 1 ,ω 2  such

that, at each (u,v) ∈ R2 , (ω1 ,ω 2 ) is the dual basis of (e1 ,e2 ).

3.6.  (5 points) Find the 1-form ω2(1)  defined in problem 2.

3.7.  (5 points) The Gauss curvature of S is defined to be the function K such that dω2(1)  = Kω 1 ∧ ω 2 .

Find K .

3.8.  (5 points) Compute, using the standard orientation and polar coordinates on     ,

\R2 Φ* (dω2(1)).

3.9.  (5 points) Stokes’ Theorem says that if θ is a (m − 1)-form on a compact m-

manifold M, then

\M dθ = 0.

Explain why, despite the fact that S is a compact manifold, the answer to the previous problem does not contradict this theorem.

3.10.  (5 points) Given −1 ≤ h < 1, let

Dh  = {(x,y,z) ∈ S  :  z ≤ h}.

The area of Dh  is

\Dh ω 1 V ω 2 .

Compute the area of Dh .