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Fin 500Q –  Quantitative Risk Management

Homework #7 Solutions

1.  Suppose a portfolio is made up of two at-the-money calls (stock price equals exercise price), one on stock 1 and one on stock 2.  The maturities of both options is one year, the riskless rate is 6%, and neither stock pays a dividend. Let S1  = 500, σ1  = 0.3, S2  = 250, σ2  = 0.1, and ρ 12  = -0.5.

(a)  Find the one-day Delta VaR0 .05  of the portfolio position. You may ignore the average change in the value of the portfolio.

Answer:  For the call option on stock 1, we compute d1   = ln(S1 /K1 )T(曰)+0 .5σ1(2))T = 0.35 and

d2   = d1  - σ 1 ^T  = 0.05 and find price C1   = S1 Φ(d1 ) - K1 e — R曰 T Φ(d2 ) = 73.5854 and delta ∆C,1  = Φ(d1 ) = 0.6368. Similarly, for the call on stock 2 we get C2  = 18.6483 and ∆C,2  = 0.7422. Therefore, the initial portfolio value is W = C1 + C2  = 92.23, with weights w1  = ∆C,1  . S1 /W = 3.45, w2  = ∆C,2  . S2 /W = 2.01, and wB   = 1 - w1  - w2  = -4.46. The annual variance of the portfolio return is

w 1(2)σ1(2) + w2(2)σ2(2) + 2w1 w2 ρ 12 σ 1 σ2  = 0.9048.

Thus, we find that the daily VaR in dollars is VaR0 .05  = 1.645 . 92.23 . ^0.9048/252 = 9.09. (b)  Find the contribution of the position in each option to the VaR of the portfolio.

Answer: The beta of the first call on the portfolio return is given by

w1 σ 1(2) + w2 ρ 12 σ 1 σ2

w 1(2)σ 1(2) + w2(2)σ2(2) + 2w1 w2 ρ 12 σ 1 σ2

Similarly, we find that β2  = -0.035. Recall from the “Value at Risk” notes that

∆VaRi  = - [µi + zα . σRp   . βi],

where σRp   is the volatility per dollar of the portfolio. Therefore:

∆VaR1      =    1.645 . 0.31 . ^0.9048/252 = 0.0306 ∆VaR2      =    1.645 . (-0.035) . ^0.9048/252 = -0.0034.

The component VaR of option 1 is |W | . w1 . ∆VaR1  = 9.7313 and the component VaR of option 2 is |W | . w2 . ∆VaR2  = -0.6401.

2.  Suppose a speculator writes (i.e., sells) an at-the-money straddle on an underlying stock with current price of 1 000, with the parameters RF  = 3%, σ = 0.45, q = 0, T = 5. Find:

(a)  The 1-month Delta VaR0 .05  of the short straddle position. You may ignore the average change in the straddle value.

Answer:  Using the Black-Scholes formulas, we find that the vale of the call is $431.58 and the value of the put is $292.29. Therefore, the value of the short straddle is -$723.87. The deltas of the call and put are 0.7429 and -0.2571, respectively. Therefore, the net delta of the short position is -0.4857. The monthly VaR0 .05  of the portfolio is 1.645 . ^0.48572 . 10002 . 0.452 /12 = 103.79.

(b)  The contribution of the short call and put to the VaR.

Answer:  Since the call and the put option are written on the same stock, we can compute the contribution of the short call to the VaR as -0.7429/(-0.4857) . 103.79 = 158.74 and the contribution of the put as 0.2571/(-0.4857) . 103.79 = -54.95.

(c)  The 1-month Delta-Gamma VaR0 .05  of the short straddle. You may ignore the average change in the straddle value.

Answer: The monthly variance of the stock is 10002 . 0.452 /12 = 16875. The gammas of the put and the call are both 0.00033066. Therefore, the gamma of the short straddle is -2 . 0.00032052. Using the formula for the Delta-Gamma VaR with zero mean, we have

VaR0 .05  = 1.645 . ╱ |-0.4857| . ^16875 - . (-2 . 0.00032052) . 16875、 = 118.43.

(d)  Now suppose the speculator goes long on an additional put option with exercise price of 900 and maturity of 2 years.  Then what would be the new 1-month Delta VaR5%  of the entire position? You may ignore the average change in the value of the portfolio.

Answer:  The delta of the additional put is  -0.2816.   The net delta of the three options is -0.4857 - 0.2816 = -0.7673. The Delta VaR is then 1.645 . ^0.76732 . 16875 = 163.97.