1.  [10 points total] Answer the following questions. Please show work that demonstrates how to answer the question without the use of R. (It is fine to use R as a calculator, or to check work, if you wish.)

(a)  [3 points] Suppose the lifetimes of lightbulbs from a particular brand are known to follow an exponential

distribution with mean 1000 hours. What is the probability that a randomly selected lightbulb lasts between 900 and 1100 hours?

(b)  [3 points] Suppose the number of chocolate chips in a certain type of cookie follows a Poisson distribution

with mean 3 chips per cookie.  What is the probability that the number of chocolate chips in a randomly selected cookie is less than or equal to 1?

(c)  [4 points] Suppose we are developing a new type of chocolate chip cookie, and the number of chocolate chips per cookie will have a Poisson distribution with mean λ．Let p be the probability that there are no chocolate chips in a randomly selected cookie. What value of λ should we choose so that p = 0．01?

2.  [10 points total] Suppose the developers of a new iPhone game monitor its usage. For a randomly selected user, let ★ be the proportion of the user’s total screen time spent playing the game, and let Y be the time in months until the user deletes the game from their phone . The developers use the following joint probability model to model ★ and Y :

f (z﹐ y) = ．

(a)  [3 points] What is the marginal probability density function (pdf) of Y?

(b)  [3 points] What is the probability that a randomly selected user deletes the game from their phone in less

than 2 months?

(c)  [4 points] Are ★ and Y independent? Justify your answer mathematically.

3.  [10 points total] Suppose that 35% of pine trees in a region experience needle blight. This true proportion is unknown to a researcher, so she examines a random sample of 400 trees in the region and assesses each for signs of the blight. Let ★1 ﹐．．．﹐ ★n  denote the results for each tree, with

★i = ,0(1)﹐(﹐)

if blight is observed on the ith  tree

otherwise．

Assume 400 is large enough to apply the Central Limit Theorem. Please show work that demonstrates how to answer the question without the use of R. (It is fine to use R as a calculator, or to check work, if you wish.)

(a)  [3 points] Write down the approximate distribution of the sample mean ．Indicate the name of the distri-

bution and what the parameters are.

(b)  [4 points] Find the approximate probability that between 30% and 40% of the trees in the sample have the blight.

(c)  [3 points] Find the approximate probability that fewer than 130 trees in the sample have the blight.

4.  [10 points total] Suppose that a podiatrist is interested in the joint distribution of shoe heel height and ankle twisting.  Specifically, for a randomly selected individual, he observes the heel height of their most commonly-worn pair of shoes, and lets:

,．0 ﹐ Y1 = ．1 ﹐

．

(2﹐

shoes have no heel,

shoes have low heels (0-2 inches),

shoes have high heels (>2 inches).

Further, after 100 hours of wear, he assesses whether the individual twisted their ankle in that time.  He

lets:

0 ﹐    if the individual did not twist their ankle in 100 hours of wear,

Y2  =

1 ﹐   if the individual did twist their ankle in 100 hours of wear. Based on his research, he believes the joint distribution of these variables is:

(a)  [2 points] What are the marginal probability mass functions (pmfs) of Y1  and Y2?          (4. Continued)