1.  (5.4-22). Let X1  and X2  be two independent random variables. and χ2 (r), respectively, where r1  < r . Let X1  and Y = X1 +X2  be χ2 (r1 )

(a) Find the mgf of X2 .

(b) What is its distribution?

2.  (5.4-23).  Let X be N(0, 1).  Use the mgf technique to show that Y = X2  is χ2 (1).  Hint:  Evaluate the integral representing E (etX 2 ) by writing w = x^1 − 2t.

3.  (5.5-2). Let X be N(50, 36). Using the same set of axes, sketch the graphs of the probability density

functions of

(a) X .

(b) , the mean of a random sample of size 9 from this distribution.

(c) , the mean of a random sample of size 36 from this distribution.

4.  (5.5-4). Let X equal the weight of the soap in a 6-pound box. Assume that the distribution of X is N(6.05, 0.0004).

(a) Find P(X < 6.0171).

(b) If nine boxes of soap are selected at random from the production line, find the probability that at most two boxes weigh less than 6.0171 pounds each. Hint: Let Y equal the number of boxes that

weigh less than 6.0171 pounds.

(c) Let  be the sample mean of the nine boxes. Find P( ≤ 6.035).

5.  (5.5-13). Let Z1 , Z2 , and Z3  have independent standard normal distributions, N(0, 1).

(a) Find the distribution of

Z1

=                               

^(Z2(2) + Z3(2))/2

(b) Show that

V = 

has pdf f(v) = 1/ (π ^2 − v2 ) , − ^2 < v < ^2.

(e) Why are the distribution of W and V so different?

6.  (5.5-14). Let T have a t distribution with r degrees of freedom. Show that E(T) = 0 provided that

r ≥ 2, and Var(T) = r/(r − 2) provided that r ≥ 3, by first finding E(Z), E(1/^U),E(Z2 ) , and

7.  (5.5-16). Let n = 9 in the T statistic defined in Equation 5.5-2.

(a) Find t0 .025  so that P (−t0 .025  ≤ T ≤ t0 .025 ) = 0.95.

(b) Solve the inequality  [−t0 .025  ≤ T ≤ t0 .025 ] so that µ is in the middle.