1. Assume that at any time t > 0, the firm has an irreversible opportunity to invest a certain (constant) amount I > 0 to install a new investment project.  Let V (t) be the one-off lump sum payment the firm receives from investing.  Assume that V (t) follows, in the risk-neutral world, a geometric Brownian motion of the form

dV (t) = µV (t)dt + σV (t)dB(t),

where µ and σ are constants and B(t) is a standard Brownian motion. Furthermore, the rate of return on the project is given by r > 0.

The problem of the firm is to find the optimal time to invest; i.e., to determine the time τ ∗ such that the firm is indifferent between waiting and investing.

(a) Using Ito’s lemma, derive the Bellman equation for the value of the option to in- vest.                               [40 marks]

(b) Explain, with reference to the appropriate boundary condition, why the general solu-

tion to the Bellman equation you derived in part (a) is given by

F(V) = A1 Vβ 1 .

[10 marks]

(c) Using the value matching and smooth pasting conditions, determine the values of F(V) and V ∗ (where V ∗ ≡ V (τ∗ )).          [20 marks]

(d) How does the value of V ∗ compare with the value threshold that would emerge under

the net present value rule of investment? Explain the economic reasoning for this.     [30

marks]

Solution

(a) If the decision maker has not stopped before time t, the value of the project is given by the maximum of the value of undertaking the project and the value of waiting:

F(V (t)) = max{F(V (t)),e−rdtE[F(V (t + dt)]}

where r > 0 is the discount rate.  Since we assume that the firm has a perpetual option to delay investment, that implies that the value before investing is time invariant. Then working out the Bellman principle for the continuation region:

F(V)   =   e −rdt (F(V)+ E[dF(V)])

=   (1 − rdt + o(dt))(F(V)+ E[dF(V)])

⇐⇒ rdtF(V)   =   (1 − rdt)E[dF]+ o(dt)

=   (1 − rdt)E[FV ( · )dV + 12FV V ( · )(dV)2] + o(dt).

Dividing by dt, the value function in the continuation region satisfies

rF(V) = 1dtE[FV ( · )dV + 12FV V ( · )(dV)2]+ 1dto(dt)

Taking dt ↓ 0 yields the Bellman Equation:

rF(V) = lim  1 E[FV ( · )dV + 1 FV V ( · )(dV)2]

For V a GBM, we have

E[dV] = µVdt

E[(dV)2] = σ 2 V2 dt

Substituting these values into equation (1), we get

rF(V) = [µVFV(∗)  + 12σ 2 V2 FV(∗)V ] .

The Bellman equation is then the following PDE which must be satisfied by F(V):

12σ V F22V(∗)V  + µVFV(∗)  − rF = 0.

(b) The second order homogeneous differential equation in part  (a) has general solu- tion given by F(V) = A1 Vβ 1  + A2 Vβ2 , where A1  and A2  are constants and β1  > 1 and β2  < 0 are the roots of the associated fundamental quadratic equation given by

12σ 2 β(β − 1) + µβ − r = 0.

Since (Vt )t≥0  follows a GBM, it has an absorbing barrier at zero. Therefore if V ↓ 0 in the limit, it will stay at 0 forever. Hence, when V is zero, the option to invest in a new project is worthless, that is, F(0) = 0. However, since β2  < 0, F(V) = A1 Vβ 1  +A2 Vβ2   → ±∞ as V ↓ 0 if A2   0. Hence, for the condition F(0) = 0 to hold, it must be such that A2  = 0.

(c) The value matching condition is given by

F(V∗ ) = V ∗ − I .

Thus, A1 (V∗ )β 1   = V ∗ − I and so A = (V∗ )−β1 (V∗ − I).  The smooth pasting condition

states that

FV * (V∗ ) = 1.

Thus, A1 β1 (V∗ )β 1 −1  = 1.  Substituting for A1  yields β 1V*  (V∗ − I) = 1.  Simple algebraic

manipulation gives

V ∗ = I

and so

F(V) = ( )β 1  (V∗ − I) .

(d) The NPV rule asserts that the investment should take place when the present value of its expected cash flows are a least as large as its costs. Future values of V are uncertain and because of this, there is an opportunity cost to investing today.  However, the NPV rule does not take into account the opportunity cost of making a commitment now and thereby give up the option of waiting for a new, and possibly more informative, indication as to whether the project is likely to be profitable or not. It also does not account for the irreversibility of the sunk investment cost I .(Students must mention both uncertainty and irreversibility in their answer).

Thus, the optimal investment rule is to invest when V is at least as large as some critical value, V ∗ , which exceeds I since β1  > 1. Since I = VNPV  < V ∗ , it is clear that the NPV rule prescribes that investment should take place too early.

2. Assume that a firm has invested in a project that, as long as it runs, generates a fixed flow of output P(t). Assume that P(t) follows a geometric Brownian motion

dP(t) = µP(t)dt + σP(t)dBt ,

where µ and σ are constants, and Bt is a standard Brownian motion. The cost to keep the factory running over a period dt is cdt.  Assume that the firm can temporarily suspend production at a constant cost E and can restart it at a constant cost I, such that I > E > 0. Assume a constant discount rate r .

(a) What is the value of the project to the firm before it invests in the project?

What is the value of the project to the firm after it has invested? Give an interpre- tation of each of the terms in the value function.                                                  [20 marks]

(b)  Comparative static results on the thresholds PH  and PL  indicate that

H

and

L

(d)  Show that PL  < PLM , where PLM  is the Marshallian exit threshold and is given by PLM  = c − rE .                                                      [40 marks]

Solution

(a) Value for an idle firm (i.e., before it invests in the project) is

G(P) = A1 Pβ 1 ,

where A1  is constant and β1  > 1 is the larger root of the quadratic

12σ 2 β(β − 1) + µβ − r = 0.

Value for an active firm (i.e., after it has invested) is

F(P) = B2 Pβ2  +  − cr

where B2  is constant and β2  < 0 is the smaller root of the above quadratic. The last two terms is the firm value if it does not have the option to abandon production. The term in β2  is the correction term for the value given that the firm may abandon production at any time for some cost.  Hence, the term in β2  is the value of the option to abandon production.

(b)     • The investment threshold PH  rises with the investment cost I: The higher the cost of investing, the more reluctant the firm is to invest because the cost is irreversible. Thus, the firm will wait longer to ensure that investing is worth the cost of doing so.

• The exit threshold PL  falls as the investment cost rises: When the entry cost is high, the firm abandons an ongoing project with some reluctance because of its option value. By keeping the project alive, if its value turns favourable again in the future, it avoids having to pay the sunk cost I once more should it decide to re-invest.  Thus, the larger is the investment cost, the greater is the option value and the greater is the reluctance to abandon; i.e. a lower value for PL .

(c) When profits fall below variable costs, the firm may not abandon for a while (i.e., PL  < PLM ) because exiting is costly and re-entering is also costly.

This ‘zone of inaction’ widens with increases in uncertainty and irreversibility.

PL  < PLM         < PHM  < PH

石          物

zone of inaction

Main point but students should provide more detail in their explanation.

(d)  See analysis in Tutorial 3 applied to PL  instead of PH .

3.   (a) In the Sabarwal model the investment threshold, P ∗ , above which the firm will invest

is given by

 = I +  (  − D) ,

where r is the constant discount rate, 6 > 0 is the convenience yield, β1  > 1, and β2  < 0. Furthermore, I > 0 denotes the sunk cost of investment and D the amount of debt financing received by the firm, such that D ≤ I . C ∗ denotes the equilibrium coupon rate set by the lender.

Show (mathematically) how this threshold compares with the optimal investment threshold consistent with the standard theory of irreversible investment under un- certainty.                     [30 marks]

(b) In the Sabarwal model, there are three main effects of debt financing on the optimal investment threshold: debt, limited liability, and costly default. Explain intuitively (from an economic perspective) how each of these effects impact on the threshold and, in your answer, discuss the implication of these effects for the validity of the Modigliani Miller theorem.            [70 marks]

Solution

(a) In the standard model of irreversible investment under uncertainty, the threshold for

investment is given by the term

β 1      

P ∗ = 6I + 6 (  − D)     <     6I                        ⇐⇒ 6 (  − D) < 0 ⇐⇒  (  − D) > 0

since 6 > 0, β1  > 1, and β2  < 0, by assumption in the Sabarwal model. Additionally, the zero-profit condition of the lender, in the Sabarwal model, implies that C ∗ > rD .

Thus (C*r  − D) > 0 implying that

P ∗ < 6I .

(b) To the extent that the debt financing of a portion of the sunk cost of investment reduces the cost of investing in the project for the firm, the equilibrium investment threshold is lower; i.e., the firm is less reluctant to wait as investing is less costly.

The debt contract in Sabarwal model is such that if the revenue from the project falls below the coupon rate set by the lender, the firm can default on this debt and the liability of the firm is limited to the revenue that he has available.  However default is not costless, because the lender anticipates its probability, and sets the coupon to offset expected losses from default.  To the extent that a higher default probability raises the coupon the lender will set, the profitability of the project for the firm decreases, and thus, the firm will wait longer before investing (i.e., implies a higher threshold P ∗ ).

Sabarwal assumes a zero-profit for the lender, and owing to this, the reduction in the firm’s share of the investment cost from receiving the debt is exactly offset by the value of the project they pay back to the lender. Thus, the effects of the amount of debt issued and the coupon payment cancel each other out.

However, the debt contract in Sabarwal model is such that it incorporates limited liability. Since the effect of debt cancels out the effect of the payment to the lender, the limited liability of the debt feature dominates. The limited liability effect implies that investing is less costly, and therefore, the firm will invest earlier, and the overall equilibrium threshold will be lower than that consistent with the standard case of irreversible investment under uncertainty.

So the presence of debt lowers the investment threshold from that consistent with the standard rule of irreversible investment under uncertainty and implies that the firm will not wait so long before investing. This is because, unlike in the Sabarwal model, the standard model does not consider the effect of limited liability on the value of waiting, and gives a threshold that is higher than the threshold in Sabarwal.  The effect of limited liability limits the downside risk of investment to the firm because adverse realisations after investment has taken place are marginally less costly to the firm than such adverse realisations would be in the standard model which does not incorporate the feature of limited liability.

The M-M theorem would suggest that the capital structure of the firm and their debt contract will have no impact on their investment decision; therefore, by the theorem, the firm should invest at the threshold consistent with the standard case of irreversible investment  under uncertainty.   However,  Sabarwal shows that the capital structure of the firm with a p articular debt contract does impact on the firm’s investment decision.   Specifically,  the firm will invest earlier owing to the dominating effect of the limited liability feature of the debt contract.