Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Applied Matrix Theory

ECE-GY 5253 Midterm

Spring 2023

Due:  Tuesday, March 21, 8 pm (Eastern Time)

Problem 1

For a given matrix A =  1(1)    1    2, is matrix A diagonalizable? If yes, diagonalize the matrix;

otherwise, give the Jordan form. Show detailed steps to solve the problem.

Problem 2

If true, write proof; If false, give a counter-example.

(a) If A ∈ Rn ×m  and AAT  is invertible, then rank(A) = n.

(b)  For matrices A,B ∈ Rn ×n , if AB = BA = 0, then A = 0 or B = 0.

(c) If B ∈ Rn ×n  is symmetric with strictly positive eigenvalues (i.e., λi  > 0 for i = 1, . . . ,n) then B is invertible.

(d)  For any A ∈ Rm ×n  and any α > 0, AT A + αI is always invertible.

(e)  For all A ∈ Rn ×n , if v1  ∈ Rn  ia an eigenvector of A associated with the eigenvalue λ 1  and if v2  ∈ Rn  is an eigenvector of A associated with eigenvalue λ2   λ 1 , then v1 + v2  is an eigenvector of A associated with the eigenvalue λ 1 + λ2 .

Problem 3

(a)  Let M ∈ Rn ×n  be a symmetric matrix whose eigenvalues are strictly positive. Show that for all u,v ∈ Rn

(uT Mv) 2  ≤ (uT Mu) (vT Mv) .

(b)  Let M  ∈ Rn ×n  be a symmetric matrix such that M2020  = In   (In   ∈ Rn ×n :  identity matrix). Compute M2  (Justify your answer).