Question 1 [14 marks]

Suppose that a parameter θ can take only three values, θ = 0, θ = 1 or θ = 2.  Your prior on θ before observing any data is p(θ = 0) = 0.3, p(θ = 1) = 0.5 and p(θ = 2) = 0.2.  The distribution of Y is as follows:

p(Y lθ = 0) = Gamma(2, 3)

p(Y lθ = 1) = Gamma(1, 2)

p(Y lθ = 2) = Gamma(3, 3)

Your task is to estimate the value of θ .  Let action a0  corresponds to claiming that θ = 0, a1 corresponds to claiming that θ = 1, and a2  corresponds to claiming that θ = 2.  The losses corresponding to each action and values of θ are represented by the following loss matrix :

 θ = 0   θ = 1   θ = 2

a0

a1

a2

For example, the loss associated with action a0  when the true value is θ  =  1 is L(θ  = 1, a0 ) = 1. You obtain one observation Y = 2.

(a)  Compute the posterior distribution for θ .                                                                        [7]

(b)  Compute the Bayesian expected loss associated with all three actions given this observa-

tion, and decide which action to take.                                                                             [7]

Question 2 [24 marks]

Consider the following historical record for the daily log-returns of a financial stock: Y1  = 0.4, Y2  = _0.61, Y3  = _0.53, Y4  = 0.22, Y5  = _0.018, Y6  = _0.39

The log-returns are assumed to be independent and identically distributed draws from a Normal distribution with known mean 0 and unknown variance σ 2 .

(a) Using the Inverse-Gamma(α, β) distribution as a conjugate prior for σ 2 , derive its

posterior distribution given the data. You do not need to evaluate any integrals or normalising constants.            [5]

(b) Let  denote the log-return on a particular day in the future. Show that the posterior

predictive distribution is of the following form:

1    β˜    Γ( + )  

^2π Γ() (β˜ + )+

for some values of  and β˜ . Using the numeric values of Y1 , . . . , Y6  provided above, give expressions for  and β˜ in terms of α and β . State the range of possible values

that  can take.                                                                                                       [7]

(c)  [Type] State the Pickands_Balkema_de Haan theorem.  Explain using your own words how this theorem can be used in risk analysis. Use no more than 100 words. [4]

(d) Find the probability of log-return, Y7 , on the next day being between _0.75 and _0.7 using a Generalised Pareto Distribution (GPD) with threshold u = _0.38. Use the method of moments to estimate the GPD parameters.                                     [8]

Question 3 [21 marks]

A local meteorological office located on an island in the Pacific Ocean would like to model the number of hurricanes that occur in a year. Let Xt be a discrete random variable which represents the number of hurricanes that occurred in year t.  The company considers a Poisson model to estimate the frequency of hurricanes, i.e.   X Poisson(λ).   The following historical record shows the number of hurricanes over the past 5 years:

Year, t  Number of hurricanes

1

2

3

2

2

The meteorological office suspects that during this period there might have been a struc- tural change in the hurricane frequency due to climate change. In particular, the meteoro- logical office believes that the change point has occurred in year t = 3. Thus, observations X4  and X5  still come from a Poisson distribution but with a different parameter λ, i.e.:

Xt  ~

Define the two models:

M0  : There has been no change point in the hurricane frequency.

M1  : There has been a change point at t = 3.

(a)  Compute the marginal likelihood for Model M0  without a change point.  Note that

you should use the Gamma(1, 1) prior in Model M0 .                                             [6]

(b)  Compute the marginal likelihood for Model M1  with a single change point in year

t = 3. Note that you should use the Gamma(1, 1) prior for both segments in Model M1 .                   [11]

(c)  Compute the posterior distribution for both models, and decide whether there has been a structural change in the hurricane frequency in year t = 3. Both models M0 and M1  are equally likely a priori.       [4]

Question 4 [6 marks]

Let Yt  = ln(Pt ) _ ln(Pt一1 ) denote the daily log-return on a financial asset, where Pt  is the opening daily price at time t. The following model has been proposed to describe the behaviour of log-returns:

Yt  = ut

ut  = σt εt

ε N(0, 1)

σt(2)  = ω + αut(2)一1 + βσt(2)一1

where ω , α , β > 0 and α + β < 1.

(a) Derive the unconditional variance of Yt , Var(Yt ). Clearly show all the steps leading to your answer.                        [6]

Question 5 [16 marks]

(a)  Suppose that you are faced with taking one of the following three actions: a1 , a2 , or

a3 . However, there is a loss associated with each action which depends on the state of nature.  The losses corresponding to each action ai , i = 1, 2, 3, and the state of nature θj , j = 1, 2, 3, are represented by the following loss matrix :

For example, if you take action a1 , and the state of nature is θ 1 , then the incurred loss is 10.

(i)  State for each action a1 , a2  and a3 , whether it is admissible or inadmissible.  [3]

(ii) Find the minimax nonrandomized action. Clearly show all the steps leading to your answer.            [5]

(b) Let Y Poisson(λ) where λ > 0 is unknown. It is of interest to estimate λ using

the following loss function:

L(λ,) = log ╱ 、 + ←λλ + log ╱ 、

Assuming that no data are available, compute the Bayesian point estimate of λ under the loss function L(λ,).           [8]

Question 6 [19 marks]

(a)  Consider the following information on the hypothetical portfolio of 入7,000 in-

vested in two assets. The information on each daily asset return is provided in the table below. It is assumed that these returns are jointly normally distributed.

Asset 1   Asset 2

Standard normal distribution table.

巫         -2.326   -2.054   -1.881   -1.751   -1.645   -1.555

Φ(巫)     0.01      0.02      0.03      0.04      0.05      0.06

Compute the 99% 1-day Value-at-Risk (VaR) of the portfolio in value terms. Interpret your findings.        [5]

(b)  [Type] Suppose that you have been hired as a risk analyst by a financial com-

pany to assess its current internal approach to computing the 99% 10-day Value- at-Risk (VaR) for a particular financial asset. Let X芒 denote the daily log-return on that asset which evolves over time as follows:

X芒  = µ芒 + u芒

where

P

µ芒  = c +       δiX芒一i

i=1

u芒  = σ芒 ε芒          ε芒 i. . N (0, 1)

s                           o                                            Q

σ芒(2)  = ω +       α5u芒(2)一5 +      γou芒(2)一o I[at −o<0] +      βg σ芒(2)一g

5=1                        o=1                                          g=1

where P = 3, S = 2, O = 1, and Q = 2.  After careful inspection of internal models, you learn that the company computes the 99% 10-day VaR using the following formula:

VaRa,h  = 2.326 .  . ^h _  . h