1     S . L dV

2m2 c2      r    dr                 (1)

in each of these states. For convenience, the normalized radial wave functions are:

R2 ,0  =   │2 _ 、 e —r/(2aО )  ,    R2 , 1  =   │ 、 e —r/(2aО )  .          

(2)

Here, the normalization is chosen such that these satisfy

,Rnl (r),2 (4πr2 dr) = 1                     (3)

0

(c)  Draw a diagram illustrating how the energy levels of the n = 2 shell split. Make sure that you indicate both the difference in these energies from the “unperturbed” value of E2  = _  13.6eV , and also the number of states in each of the split energy levels.

(d) You examine the part of the emission spectrum of Hydrogen associated with transitions from the n = 2 level to the n = 1 level with a detector that has infinite wavelength resolution. Based on your answer to part (c) – i.e including only the spin-orbit interaction, and no other corrections– how many different lines would you see in the emission spectrum?   (One line corresponds to one wavelength).  Note that later in Ch.   8 the book does discuss selection rules; you do not have to use these for this question.

2.   (a)  Use separation of variables to show that, if V (r¹ , r2 ) = V (r1 ) + V (r2 ), the two-particle time- independent Schroedinger equation (9-1 in the book) has solutions of the form

ψ(r¹ , r2 ) = ψ1 (r¹ )ψ2 (r2 ) .                                                  (4)

(b) If

│  + V (r)、ψi (r) = Ei ψi (r)               (5)

for r = r1 , r2 , what is the energy of the 2-particle state you found in (a) ?

(c)  Now, consider a solution of the form

1  

ψA  =       (ψa (1)ψb (2) _ ψb (1)ψa (2))  .                                         (6)

Why is this also a solution of the time-independent Schroedinger equation? What is its energy? (d)  Consider the solution from (c), but with the two particle labels (1 and 2) exchanged.  Is this

a solution to the Schroedinger equation? What is the associated energy?

3.  Consider a 1-d potential

V (x) =

_L/2 s x s L/2

otherwise        (7)