Instructions

❼ This exam consists of 5 problems.  Each problem is worth 20 points (with all parts equally

weighted for questions having multiple parts).  Note that the last parts of Problems 4 and 5 are bonus problems each worth +10 points.  So a maximum grade of 120 point is possible, though this exam will be graded out of a total of only 100.

❼ Problem  1, consisting of several True/False and multiple choice questions, will be graded

strictly on the basis of final answers. No partial credit will be given for justifying answers in Probem 1. However, it is absolutely essential that you provide complete justification for your answers to Problems 2,3,4, and 5.  You must fully justify your answers in order to earn full credit for Problems 2,3,4 and 5.

❼ You are allowed to consult our course textbook and course notes as you work on this exam. No other resources are allowed. In particular, collaboration with others is not allowed on this exam.

❼ Please submit your work, via Carmen, no later than Tuesday, May 2 at 11:59pm. Besides the

submission deadline, there are no further time constraints for this exam.  In particular, you may begin working on this exam as soon as it is released.

Good luck!

(1)   (a) TRUE or FALSE: Let F be a field. Let p ∈ F[x] be a non-zero polynomial of degree 100. Let E = F[x]/(p(x)). Then [E : F] = 100.

(b) TRUE or FALSE: There is some field F and an irreducible polynomial p ∈ F[x] satisfying:

p has a repeated root in some finite field extension E/F.

(c) TRUE or FALSE: Let Q be the field of rational numbers.  Let p ∈ Q[x] be a non-zero irreducible polynomial.  It is possible for p to have a repeated root in some finite field extension E/Q.

(d) TRUE or FALSE Let E/F be a finite Galois extension of fields with  [E  : F] = 100. There is at least one intermediate field F ⊂ K ⊂ E satisfying [E : F] = 4.

(e) TRUE or FALSE: Let F be a field.  Let d ∈ F be  non-square, i.e.  the equation x2  = d has no solution for x ∈ F. The field extension F(^d)/F is Galois.

(2)   (a) Let E/F be a finite field extension.   Suppose that ϕ  :  E  → E is a homomorphism satisfying ϕ(f) = f for all f ∈ F. Prove that ϕ is an automorphism of E .

(b) Let E/F be a field extension,  not necessarily finite.   Suppose that ϕ  :  E  → E is a

homomorphism satisfying ϕ(f) = f for all f  ∈ F. Is it necessarily true that ϕ is an automorphism of E? Prove or describe a counterexample.

(3) Let p be prime. Prove that the number of irreducible, monic polynomials of degree 6 over Fp equals

 (p6 − p3 − p2 + p) .

Hint: How many elements of Fp6   don’t lie in any proper subfield?

(4)   (a) Prove that f(x) := x7 − 2 ∈ Q[x] is an irreducible polynomial. Let Ef  denote its splitting 

field. Describe Ef . Calculate [Ef  : Q]. Fully justify your answer.

(b)  (BONUS +10) Fully describe the Galois group Aut(Ef /Q).