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MATH5965 - Discrete Time Financial Modelling

exercise

1.   Let (Zt)0<t<T be a given adapted, integrable process, and let (Vt)0<t<T be its Snell envelope.

a)   Show that if Z is submartingale, then Vt  = E [ZT|Ft], and if Z is a supermartingale then Vt  = Zt  for all t.

b)   Let τ be any stopping time taking values in {0, ..., T}. Show that the process (Vt^τ)0<t<T is a supermartingale.

c)   Define the random time τ *  by

τ *  = min{t ∈ {0, ..., T} : Vt  = Zt}.

Show that τ *  is a stopping time. In addition, show that the process (Vt^τ * )teA0,...,T }  is a martingale and, in particular, V0  = E[Zτ * ].